Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Теория катастроф" -> 28

Теория катастроф - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Теория катастроф — М.: Наука, 1990. — 128 c.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyakatastrof1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 45 >> Следующая


Мы уже знаем, что эта поверхность топологически устроена как цилиндр в четырехмерном пространстве.

Оказывается, монодромия поворачивает каждую из составляющих цилиндр окружностей на свой угол, меняющийся непрерывно от нуля на одном основании до 2зт на другом. Таким образом, оба края цилиндра поточечно остаются на месте, в то время как поверхность перекручивается на целый оборот, так что, например, образующая цилиндра

*) Ситуация здесь в точности такая же, как с листом Мёбиуса. При непрерывном обходе вдоль осевой окружности листа Мёбиуса мы можем непрерывно отождествлять поперечные ей отрезки. Но і:огда мы впервые вернемся к исходному отрезку, полученное отождествление этого отрезка с самим собой будет менять местами его концы.

Рис. 76. Скручивание Дена — монодромия функции + уЕ

81 превращается в спираль, делающую на пути от одного основания к другому полный оборот вокруг цилиндра (рис. 76).

Чтобы понять, почему это так, исследуем подробнее «комплексную окружность». Уравнение ее можно записать в виде у = Yс — X2. Из этой формулы видно, что каждому (комплексному) значению х соответствует пара значений у, за исключением х = + У с,— каждому из этих двух особенных значений х соответствует единственное (нулевое) значение у.

Следовательно, график комплексной «двузначной функции» у = Yc — х% распростерт над плоскостью комплексной переменной X двулистно, причем оба листа соединены только в двух точках. Однако разделить оба листа, удалив лишь эти две точки, не удастся. В самом деле,; заставим х обойти одну из этих точек по малому контуру, охватывающему ее один раз. Соответствующее значение у, непрерывно меняясь, вернется не к прежнему значению, а к другому. Действительно, из формулы

с — х2 = (Yc — х) (Yc + х)

ВИДНО, ЧТО при обходе X вокруг ОДНОЙ ИЗ точек + Yс' аргумент одного из сомножителей меняется на 2л, а другого не меняется. Значит, аргумент у меняется при указанном обходе на л, т. е. у меняет знак и переходит с одного листа на другой.

При двукратном обходе х вокруг точки Yc величина у возвращается к исходному значению. Точки х = + Ус называются точками ветвления функции у = Yc — х2'

Чтобы лучше представить себе поверхность, заданную ЭТОЙ функцией, соединим обе ТОЧКИ ветвления OTpeBKOJi. Если точка х гуляет по плоскости, не пересекая этого ст резка, то у возвращается к первоначальному значсчтш всякий раз, когда х описывает замкнутый путь. Действительно, однократный обход любой из точек ветвления меняет лишь знак у, поэтому обход всего отрезка не меняет знака у.

Ясно, что наша поверхность хг + у2 = с топологически устроена как объединение двух экземпляров плоскости комплексного переменного X, разрезанной влс-пь отрезка между точками ветвления, при склеивании верхнего берега разреза на каждом экземпляре с нижним берегом на другом. Топологически эта поверхность есть

82 цилиндр. Разрез изображается на этом цилиндре экваториальной окружностью (рис. 77).

При приближении с к критическому значению 0 обе точки ветвления сближаются. Соединяющий их отрезок и обходящий его путь на римановой поверхности в пределе при с —V О исчезают в критической точке. Поэтому ,

Рис. 77. Риманова поверхность кривой хг + хр- = с

экваториальный цикл на цилиндре х2 + у1 — с называют исчезающим циклом.

Для с >0 этот исчезающий цикл — обычная вещественная окружность. Итак, мы разобрались в строении множества неособого уровня вблизи критической точки при фиксированном значении функции, близком к критическому. Вид функции при этом не важен, лишь бы критическая точка была невырожденной. Ибо все невырожденные критические точки комплексных функций топологически локально одинаковы в соответствии с объясненным выше общим принципом (комплексное вырождение накладывает два вещественных условия). В частности, топология исчезающего цикла для гиперболического случая (X2 — у2 = с) такая же, как для эллиптического, я2 + У2 — с, только в гиперболическом случае исчезающий цикл весь лежит в комплексной области.

Пусть теперь значение с обходит по малому контуру вокруг критического значения. Применим наш анализ комплексной линии уровня функции к исследованию мо-нодромии. Если выкинуть малую окрестность особой точки, то все линии уровня (вещественные или комплексные), достаточно близкого к критическому, можно взаимно-непрерывно и взаимно-однозначно спроектировать на линию критического уровня (вне указанной окрестности особой точки, рис. 78).

83 Отсюда следует, что монодромня, т. е. отождествление линий уровня с, непрерывно зависящее от пути, пробегаемого значением с при обходе критического значения, может быть выбрана так, что вне указанной окрестности все точки линии уровня вернутся на место, когда с совершит полный оборот.

Остается разобраться, что произойдет внутри окрестности. При этом достаточно рассмотреть стандартную

Рис. 78. Отождествление соседних множеств уровня функции вдали от критических точек

функцию / = X2 + у2.' Часть комплексной линии уровня, попавшая внутрь окрестности, топологически представляет собой цилиндр, оба края которого выходят на границу окрестности. В то же время эта часть двулистно накрывает область на плоскости комплексного переменного X с ветвлением в точках + |Ас, как это объяснено выше (рис. 77).
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 45 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed