Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
137
или диагональной форме
Т—> ViTxx + ЦТуу Ь ккГг2, (3.66)
поскольку все недиагональные коэффициенты равны нулю. Преобразование координат, которое приводит аффинор к диагональной форме, называется приведением к главным осям (см. разд. 4.5).
Интересно и полезно дать геометрическую трактовку симметричного аффинора. Для простоты предположим, что симметричный аффинор T задан в диагональной форме. Тогда с помощью радиуса-вектора г запишем уравнение
гГг=1, (3.67)
которое накладывает ограничение на абсолютную величину г в зависимости от его ориентации. Раскроем уравнение (3.67):
(і* + ]у + kz) '(WTxx + ЦТуу и- ккТгг) x ї
X (і* +to+ кг) =1, > (3.68) X2Txx +tf Tyy+ z*Tzz = 1. J
Последнее равенство определяет эллипсоид с полуосями
а = TZ*12, Ь =TylJ\ с = Гг11/2. (3.69)
Следовательно, диагоиализация аффинора соответствует ориентированию аффинорного эллипсоида таким образом, чтобы его оси совпали с осями координат.
Если задан антисимметричный аффинор U1 т. е. Uii = O1 Uij= — UJi (і Ф/; г, j = x, у, z), то для любого вектора а
SiU=-Un. (3.70)
Иначе говоря, умножение вектора на антисимметричный аффинор подчиняется правилу антикоммутации (см. упр. 1).
Формализм аффиноров гораздо менее удобен по сравнению с обычным тензорным анализом. Представление с помощью аффиноров тензоров третьего и более высокого ранга крайне затруднительно, поэтому мы вновь возвратимся к тензорному анализу и в дальнейшем не будем делать никаких ссылок на аффиноры.138
Г JI А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Даны антисимметричный аффинор U и вектор V. Доказать, что V-U=-U-V, V-U-V = 0.
2. Пусть [/—симметричный аффинор, а—единичный вектор в направлении радиуса-вектора г. Показать, что конец радиуса-вектора скользит по поверхности эллипсоида, когда г—U-л.
3. Двумерные векторы Г = ІЛГ —f-1?/ и t= —iy-j-jjc могут быть связаны уравнением rU~ t. Определить тензор Uy используя для этой цели обычное тензорное представление. Найти U и дать его определение с точки зрения аффиноров.
4. В теории взаимодействия молекул используют аффинор, образованный из единичных векторов относительно расстояния между
молекулами, эти векторы определяются как е12= j j • Показать,
что для данного U=I-Зе^е^. Здесь /—единичный аффинор, т. е. /=П +jj-j-kk.
5. Показать, что /=ii-fjj + kk есть единичный аффинор в том смысле, что для любого вектора V
/V = V.
3.6. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Когда на упругое твердое тело действует внешняя сила оно либо деформируется, либо внутри него возникают некоторые напряжения. Наше рассмотрение теории упругости с применением тензорного анализа естественным образом распадается на три этапа: 1) описание деформации упругого тела; 2) описание сил, которые вызывают (обычно эти силы называют напряжениями) деформацию; 3) запись обобщенного закона Гука в тензорной форме.
Деформация упругого тела. Деформацию упругого тела можно охарактеризовать изменением в расположении отдельный его частей относительно друг друга, когда на тело действуют некоторые внешние силы. Рассмотрим точку P0 (рис. 3.3), находящуюся на расстоянии г от начала координат, и вторую точку Q0, которая находится на расстоянии бх от P0. Обозначим Sxi координаты точки Qo относительно P0 в недеформированном твердом теле; при наличии деформации, когда точка Pq сместится на расстояние и в точку Pi, а точка Q0 — на расстояние v в точку Qi, координатами точки Qi относительно Pi будут б у і — Sxi -j- Sui. Следовательно, изменение в относительном расположении3.6. ТЕОРИЯ упруI ости
139
точек PnQ равно бUi. Пренебрегая дифференциалами второго и более высокого порядков, получаем
би — и (г -j 6х) — и (г) — (бх• V) и, бUi^-^bXk. (3.71)
Поскольку Ui — компонента вектора, производная AuiIdxk представляет собой элемент тензора второго ранга Vu.
Рис. 3.3. Упругая деформация.
Разложим этот тензор на симметричную и антисимметричную части
»«'-Kfe+Aw-Tift-a4*-
= r\ikbxh —Iikbxh. (3.72)
Антисимметричную часть Iik можно отождествить с чистым вращением.
В соответствии с разд. 3.4 установим связь аксиального вектора 1 с Iij:
S =4 V XU. (3.73)
Смещение би, соответствующее антисимметричной части -Iihdxki равно
би - -I(VXu)X бх. (3.74)140
Г JI Л R Л 3. ТПІКЮРІШІЇ АНАЛИЗ
Это вращение вокруг мгновенной оси, которая проходит через точку P0 в направлении Еектора V х и, а угол вращения, измеренный в радианах, равен | V х и |/2. Оставшаяся симметричная часть Ijij- называется тензором чистой
деформации. Диагональные элементы тензора Tjift характеризуют удлинение, а недиагональные элементы — деформацию сдвига.
Если точка Q0 сдвинута относительно P0 только в направлении оси Xf то бх — ISjf1. Тогда из уравнения (3.72)
6ні = Tj11Sje1, Su2 = ^216*!, бг/3 ^ Лзі^лгі- (3.75)
Отсюда при наличии деформации смещение окажется равным
6^ = 6^ + 6^-(1 -Hj11^x1, \
Sy2 = 6U2 = Tj21Sx1, I (3.76)
Syз — Su3= TJ31SAT1. J
При заданном начальном расположении, бх = iojcj, диагональный элемент Tj11 вносит вклад в первую компоненту 6у (удлинение), a Tj21 и Tj3f соответственно в Sy2 и Sy3, которые характеризуют сдвиг.