Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 32

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 185 >> Следующая


=1IuT = aU'

(3.12)

дх'і dxj

и, следовательно, контравариантные и ковариантные преобразования совпадают. В других системах координат соотношение (3.12), вообще говоря, не имеет места, поэтому в них контравариантные и ковариантные величины различны, что необходимо учитывать. Мы будем отмечать компоненты контравариантного вектора индексом сверху Л1, а компоненты ковариантного — индексом снизу Ai. Чтобы избавить читателя от некоторой боязни и неуверенности перед словом тензор, назовем скаляр тензором нулевого ранга, а вектор — тензором первого ранга.

Теперь определим контравариантные, смешанные и ковариантные тензоры второго ранга с помощью соотношений

2 1

kl

в? =S

hl



dxk дхі
дх\ дхі
dXh Ьх'.
dxk дхі

hl

дх'і dx'j

Bi-,

>hl-

(3.13)

Мы видим, что Akl контравариантен по обоим индексам, Cki ковариантен по обоим индексам, а В* преобразуется

контравариантно по первому индексу k, но ковариантно по второму индексу /. В декартовых координатах все три типа тензоров второго ранга — контравариантные, смешанные и ковариантные — совпадают.

Тензор второго ранга А (с компонентами Ahl) удобно представить, записав его компоненты в виде квадратной таблицы (З X 3 в случае трехмерного пространства):

/А11 Л12 Л13\

Л = I Л21 Л22 Л23). (3.14)

\Л31 Л32 Л33/

Это не означает, однако, что любая квадратная таблица чисел или функций образует тензор. Существенное условие, налагаемое на компоненты тензора, состоит в том, что они 122 ГЛАВА 3. ТР.НЗОРНЫЯ АНАЛИЗ

преобразуются по закону (3.13). Это требование можно проиллюстрировать подробным изучением двумерного тензора

В повернутой системе координат компонента Tw должна равняться —ху. Проверим, преобразуется ли Ги по закону (3.13):

kl hl

где t\ /=1. Записывая левую часть уравнения в явном виде в неподвижной системе координат и подставляя вместо

aik, axi и Tkl их действительные значения, получаем

?

— (х cos 0 + у sin 0) (—je sin 0 -f у cos 0) =

?

= cos2 QTn + cos 0 sin 0T12 + sin 0 cos 0T21 + sin2 0Г22 = = —xy cos2 0—y2 cos 0 sin 0 -f X2 sin 0 cos 0 -f xy sin2 0.

Возникло тождество, показывающее, что условие (3.13) выполнено для Tw. Аналогичные выкладки с другими компонентами показывают, что все они преобразуются по закону (3.13), т. е. T — действительно тензор второго ранга.

Указанное свойство преобразования нужно проверять каждый раз заново. Например, если изменить знак у компоненты T22 и считать ее равной — ху, то Tlv Ф 2 aihauThl,

hl

и поэтому таблица

не определяет тензора, так как ее элементы не удовлетворяют требуемым условиям преобразования.

Сложение тензоров определим аналогично сложению векторов:

A + B = C, (3.15)

если .4iJ-J-Bij =Cij. При этом, конечно, тензоры А и В должны иметь один и тот же fранг и оба должны быть заданы в пространстве одинаковой размерности. 3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

123

Обычно в тензорном анализе для упрощения суммирования уравнения (3.13) записывают в более компактной форме. Поскольку мы различаем контравариантный и ковариант-ный тензоры, условимся, что если два одинаковых индекса встретились в одной части какого-то выражения, причем один индекс верхний, а другой нижний, то по этим индексам производится суммирование. Поэтому второе выражение из (3.13) можно переписать в виде

где подразумевается суммирование по k и L Этим определено правило суммирования.

Для иллюстрации этого правила и в какой-то мере самой техники тензорного анализа покажем, что б-символ Кронекера бы в действительности представляет собой сме-

L

шанный тензор второго ранга 6j. Во-первых, необходимо

установить, преобразуется ли б? в соответствии с (3.13), т. е. является ли он тензором. По определению символа Кронекера с учетом правила суммирования, имеем

{к dxI дхі _ дхі dxk ?3 щ

(3.18)

dxk dx'j dxk dx'j '

причем .

dxj dxk __ dx]t dx'j ~~ dx'j

Однако x'j и — независимые координаты, и, следовательно, производная в (3.18) равна

дх]

б)\ (3.19)

ПОЭТОМУ

&'i Qx1 U

т. е. б? — действительно смешанный тензор второго ранга. Символ Кронекера обладает еще одним интересным свойст-. вом: он имеет одинаковые компоненты во всех вращающихся системах координат, и поэтому его можно назвать изотропным. В разд. 3.4 мы встретимся с изотропным тензором третьего ранга. 124

ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Вообще говоря, Amn не зависит от Anm, поэтому важен порядок, в котором проставлены индексы тензора. Однако имеется несколько интересных специальных случаев; так, если

Amn = Anm1 (3.20)

то тензор называют симметричным; если же

Amn = -Anm1 (3.21)

то тензор антисимметричен. Очевидно, всякий тензор (второго ранга) можно разложить на симметричную и антисимметричную части:

Amn = J (Amn + Anm) + J (Amn - Anm). (3.22)

Первый член в круглых скобках в правой части — симметричный тензор, а второй — антисимметричный. Это свойство тензора распадаться на симметричную и антисимметричную части используется в теории упругости (разд. 3.5). Аналогичное разделение функции на симметричную и антисимметричную части играет исключительно важную роль в квантовой механике.
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed