Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
=1IuT = aU'
(3.12)
дх'і dxj
и, следовательно, контравариантные и ковариантные преобразования совпадают. В других системах координат соотношение (3.12), вообще говоря, не имеет места, поэтому в них контравариантные и ковариантные величины различны, что необходимо учитывать. Мы будем отмечать компоненты контравариантного вектора индексом сверху Л1, а компоненты ковариантного — индексом снизу Ai. Чтобы избавить читателя от некоторой боязни и неуверенности перед словом тензор, назовем скаляр тензором нулевого ранга, а вектор — тензором первого ранга.
Теперь определим контравариантные, смешанные и ковариантные тензоры второго ранга с помощью соотношений
2 1
kl
в? =S
hl
dxk дхі
дх\ дхі
dXh Ьх'.
dxk дхі
hl
дх'і dx'j
Bi-,
>hl-
(3.13)
Мы видим, что Akl контравариантен по обоим индексам, Cki ковариантен по обоим индексам, а В* преобразуется
контравариантно по первому индексу k, но ковариантно по второму индексу /. В декартовых координатах все три типа тензоров второго ранга — контравариантные, смешанные и ковариантные — совпадают.
Тензор второго ранга А (с компонентами Ahl) удобно представить, записав его компоненты в виде квадратной таблицы (З X 3 в случае трехмерного пространства):
/А11 Л12 Л13\
Л = I Л21 Л22 Л23). (3.14)
\Л31 Л32 Л33/
Это не означает, однако, что любая квадратная таблица чисел или функций образует тензор. Существенное условие, налагаемое на компоненты тензора, состоит в том, что они122 ГЛАВА 3. ТР.НЗОРНЫЯ АНАЛИЗ
преобразуются по закону (3.13). Это требование можно проиллюстрировать подробным изучением двумерного тензора
В повернутой системе координат компонента Tw должна равняться —ху. Проверим, преобразуется ли Ги по закону (3.13):
kl hl
где t\ /=1. Записывая левую часть уравнения в явном виде в неподвижной системе координат и подставляя вместо
aik, axi и Tkl их действительные значения, получаем
?
— (х cos 0 + у sin 0) (—je sin 0 -f у cos 0) =
?
= cos2 QTn + cos 0 sin 0T12 + sin 0 cos 0T21 + sin2 0Г22 = = —xy cos2 0—y2 cos 0 sin 0 -f X2 sin 0 cos 0 -f xy sin2 0.
Возникло тождество, показывающее, что условие (3.13) выполнено для Tw. Аналогичные выкладки с другими компонентами показывают, что все они преобразуются по закону (3.13), т. е. T — действительно тензор второго ранга.
Указанное свойство преобразования нужно проверять каждый раз заново. Например, если изменить знак у компоненты T22 и считать ее равной — ху, то Tlv Ф 2 aihauThl,
hl
и поэтому таблица
не определяет тензора, так как ее элементы не удовлетворяют требуемым условиям преобразования.
Сложение тензоров определим аналогично сложению векторов:
A + B = C, (3.15)
если .4iJ-J-Bij =Cij. При этом, конечно, тензоры А и В должны иметь один и тот же fранг и оба должны быть заданы в пространстве одинаковой размерности.3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
123
Обычно в тензорном анализе для упрощения суммирования уравнения (3.13) записывают в более компактной форме. Поскольку мы различаем контравариантный и ковариант-ный тензоры, условимся, что если два одинаковых индекса встретились в одной части какого-то выражения, причем один индекс верхний, а другой нижний, то по этим индексам производится суммирование. Поэтому второе выражение из (3.13) можно переписать в виде
где подразумевается суммирование по k и L Этим определено правило суммирования.
Для иллюстрации этого правила и в какой-то мере самой техники тензорного анализа покажем, что б-символ Кронекера бы в действительности представляет собой сме-
L
шанный тензор второго ранга 6j. Во-первых, необходимо
установить, преобразуется ли б? в соответствии с (3.13), т. е. является ли он тензором. По определению символа Кронекера с учетом правила суммирования, имеем
{к dxI дхі _ дхі dxk ?3 щ
(3.18)
dxk dx'j dxk dx'j '
причем .
dxj dxk __ dx]t dx'j ~~ dx'j
Однако x'j и — независимые координаты, и, следовательно, производная в (3.18) равна
дх]
б)\ (3.19)
ПОЭТОМУ
&'i Qx1 U
т. е. б? — действительно смешанный тензор второго ранга. Символ Кронекера обладает еще одним интересным свойст-. вом: он имеет одинаковые компоненты во всех вращающихся системах координат, и поэтому его можно назвать изотропным. В разд. 3.4 мы встретимся с изотропным тензором третьего ранга.124
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Вообще говоря, Amn не зависит от Anm, поэтому важен порядок, в котором проставлены индексы тензора. Однако имеется несколько интересных специальных случаев; так, если
Amn = Anm1 (3.20)
то тензор называют симметричным; если же
Amn = -Anm1 (3.21)
то тензор антисимметричен. Очевидно, всякий тензор (второго ранга) можно разложить на симметричную и антисимметричную части:
Amn = J (Amn + Anm) + J (Amn - Anm). (3.22)
Первый член в круглых скобках в правой части — симметричный тензор, а второй — антисимметричный. Это свойство тензора распадаться на симметричную и антисимметричную части используется в теории упругости (разд. 3.5). Аналогичное разделение функции на симметричную и антисимметричную части играет исключительно важную роль в квантовой механике.