Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 1 мы видели, что смешанное произведение 5 = А X В С ведет себя подобно скаляру (при вращениях). 3.4. ПСЕВД0ТЕИ30РЫ
131
Однако при инверсии координат (3.35) 5 —S, т. е. в действительности 5 — псевдоскаляр. Это свойство смешанного произведения затемняется его геометрической трактовкой как объема параллелепипеда. В самом деле, если все три параметра объема — длину, ширину и высоту — заменить на отрицательные, то произведение этих трех величин будет отрицательно. Псевдоскалярная природа элемента объема раскрывается еще в одном интересном примере. В уравнении Максвелла V-E = —р/е0 будем считать VhE полярными векторами, а е0 — скаляром. Тогда объемная плотность заряда р должна быть скалярной величиной, однако только что было показано, что объем является псевдоскаляром. Следовательно, электрический заряд также псевдоскаляр.
Для дальнейшего удобно ввести трехмерный символ Леви — Чивита BiJki определенный как
?і23 = є231 — є312 = 1» 1 єі32 = є2із = є32і =--1, } (3'40)
все остальные BiJk = 0. J
Пусть псевдотензор третьего ранга 6ijk в некоторой системе координат равен Bijh. Тогда, по определению псевдотензора,
бі# = |а|аіра/да*гЄрдг. (3.41)
Раскрыв определитель и показав, что GJ23 = |a|2=l, из (3.41) получим
aiPa2qa3rBpqr = \al (3.42)
Рассмотрев другие возможности, найдем, что для вращений и инверсий
б| 3k = Zijh- (3.43)
Отсюда следует, что BiJh — псевдотензор. Более того, очевидно, он должен быть изотропным псевдотензором с одинаковыми компонентами в любой вращающейся декартовой системе координат.
Любому антисимметричному тензору второго ранга Сц (в трехмерном пространстве) можно сопоставить дуальный псевдовектор Ci, определенный как
Ci = JBijkCjk- (3.44)
9* 132
ГЛАВА 3. ПШЗОРИЫЙ АНАЛИЗ
Антисимметричный тензор Cjk задан таблицей
/ 0 Ciz -С
Cjk — ~С{2 0 с
\ С31 — С23 0
31
23
(3.45)
тп
Двойное свертывание (псевдо-) тензора пятого ранга є^hC показывает, что при вращениях системы координат величина Ci должна вести себя как вектор, но наличие псевдотензора Bijh приводит к тому, что в действительности Ci является псевдовектором. Компоненты С заданы как
(Сі, Сг, Сз) = (Сгз, Сзь С12). (3.46)
Заметим, что циклический порядок индексов возник из-за цикличности компонент гик- Эта дуальность, зафиксированная в (3.46), означает, что трехмерное векторное произведение простым буквенным обозначением можно записать либо в виде псевдовектора, либо в виде антисимметричного тензора второго ранга.
Если задать три (полярных) вектора А, В и С, то можно определить
Ai B1 Cii
' = AlBjCk-AlBkCj+... (3.47)
=
Aj
Ak
Bj Bk
Cj
Ck
Очевидно, в соответствии с содержанием разд. 3.1 каждый член ApBqCr должен быть тензором третьего ранга, а совокупность всех членов определяет тензор третьего ранга Vijh. Поскольку определитель (3.47) полностью антисимметричен, то при перестановке любых двух индексов, или, другими словами, при перестановке любых двух строк произойдет изменение знака. Очевидно, дуальная величина
(3.48)
есть псевдоскаляр. Раскрывая в явном виде определитель
A1 B1 C1
V= A2 B2 C2 , (3.49)
A3 B3 C3 3.4. ПСЕВДОТЕІІЗОРЬІ
133
легко убедиться, что это — смешанное произведение.
Для доказательства ковариантности уравнений Максвелла необходимо распространить данный результат на четырехмерное пространство и, в частности, показать, что четырехмерный элемент объема dxldx2dx3dxi — псевдоскаляр.
Введем четырехмерный символ Леви — Чивита б до, аналог трехмерного Bijk. По определению, SijhI полностью антисимметричен по всем четырем индексам. Если порядок (ijkl) получен четным числом перестановок из совокупности чисел (1, 2, 3, 4), то Sijki полагается равным +1, если нечетным, то б ум = —1. Аналогично тому, как это было проделано для Bijhi можно показать, что Sijhi — псевдотензор четвертого ранга.
Введя тензор четвертого ранга
элементами которого служат компоненты полярных векторов А, В, С и D, можно определить дуальную величину
Здесь подразумевается четырехкратное суммирование, которое снижает ранг тензора до нуля. Поскольку Sijki имеет псевдотензорную природу, H тоже псевдоскаляр. Предположим теперь, что А, В, С и D имеют бесконечно малую протяженность вдоль четырех координатных осей (пространство Минковского)
А = (dxt, 0, 0, 0), В = (0, dx2, 0, 0),..., (3.52)
как мы теперь видим, является псевдоскаляром. Это можно было предсказать заранее, имея в виду результаты специальной теории относительности. Лоренцево сокращение dxidxzdx3 в точности компенсируется удлинением временного интервала dxk.
Мы перешли к четырехмерному пространству простым математическим обобщением трехмерного пространства.
Hijhi —
(3.50)
H=-^bijklHijkl.
(3.51)
а четырехмерный элемент объема
H = dxi dx2 dx3 dx,
(3.53) 134 ' ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Аналогично можно рассмотреть 5-, б- и N-мерные пространства. В физике четырехмерное пространство обычно называют пространством Минковского, причем
(хи X2i х3, х4) = (х, у, г, ict), (3.54)
