Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 37

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 185 >> Следующая


137

или диагональной форме

Т—> ViTxx + ЦТуу Ь ккГг2, (3.66)

поскольку все недиагональные коэффициенты равны нулю. Преобразование координат, которое приводит аффинор к диагональной форме, называется приведением к главным осям (см. разд. 4.5).

Интересно и полезно дать геометрическую трактовку симметричного аффинора. Для простоты предположим, что симметричный аффинор T задан в диагональной форме. Тогда с помощью радиуса-вектора г запишем уравнение

гГг=1, (3.67)

которое накладывает ограничение на абсолютную величину г в зависимости от его ориентации. Раскроем уравнение (3.67):

(і* + ]у + kz) '(WTxx + ЦТуу и- ккТгг) x ї

X (і* +to+ кг) =1, > (3.68) X2Txx +tf Tyy+ z*Tzz = 1. J

Последнее равенство определяет эллипсоид с полуосями

а = TZ*12, Ь =TylJ\ с = Гг11/2. (3.69)

Следовательно, диагоиализация аффинора соответствует ориентированию аффинорного эллипсоида таким образом, чтобы его оси совпали с осями координат.

Если задан антисимметричный аффинор U1 т. е. Uii = O1 Uij= — UJi (і Ф/; г, j = x, у, z), то для любого вектора а

SiU=-Un. (3.70)

Иначе говоря, умножение вектора на антисимметричный аффинор подчиняется правилу антикоммутации (см. упр. 1).

Формализм аффиноров гораздо менее удобен по сравнению с обычным тензорным анализом. Представление с помощью аффиноров тензоров третьего и более высокого ранга крайне затруднительно, поэтому мы вновь возвратимся к тензорному анализу и в дальнейшем не будем делать никаких ссылок на аффиноры. 138

Г JI А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

Упражнения

1. Даны антисимметричный аффинор U и вектор V. Доказать, что V-U=-U-V, V-U-V = 0.

2. Пусть [/—симметричный аффинор, а—единичный вектор в направлении радиуса-вектора г. Показать, что конец радиуса-вектора скользит по поверхности эллипсоида, когда г—U-л.

3. Двумерные векторы Г = ІЛГ —f-1?/ и t= —iy-j-jjc могут быть связаны уравнением rU~ t. Определить тензор Uy используя для этой цели обычное тензорное представление. Найти U и дать его определение с точки зрения аффиноров.

4. В теории взаимодействия молекул используют аффинор, образованный из единичных векторов относительно расстояния между

молекулами, эти векторы определяются как е12= j j • Показать,

что для данного U=I-Зе^е^. Здесь /—единичный аффинор, т. е. /=П +jj-j-kk.

5. Показать, что /=ii-fjj + kk есть единичный аффинор в том смысле, что для любого вектора V

/V = V.

3.6. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Когда на упругое твердое тело действует внешняя сила оно либо деформируется, либо внутри него возникают некоторые напряжения. Наше рассмотрение теории упругости с применением тензорного анализа естественным образом распадается на три этапа: 1) описание деформации упругого тела; 2) описание сил, которые вызывают (обычно эти силы называют напряжениями) деформацию; 3) запись обобщенного закона Гука в тензорной форме.

Деформация упругого тела. Деформацию упругого тела можно охарактеризовать изменением в расположении отдельный его частей относительно друг друга, когда на тело действуют некоторые внешние силы. Рассмотрим точку P0 (рис. 3.3), находящуюся на расстоянии г от начала координат, и вторую точку Q0, которая находится на расстоянии бх от P0. Обозначим Sxi координаты точки Qo относительно P0 в недеформированном твердом теле; при наличии деформации, когда точка Pq сместится на расстояние и в точку Pi, а точка Q0 — на расстояние v в точку Qi, координатами точки Qi относительно Pi будут б у і — Sxi -j- Sui. Следовательно, изменение в относительном расположении 3.6. ТЕОРИЯ упруI ости

139

точек PnQ равно бUi. Пренебрегая дифференциалами второго и более высокого порядков, получаем

би — и (г -j 6х) — и (г) — (бх• V) и, бUi^-^bXk. (3.71)

Поскольку Ui — компонента вектора, производная AuiIdxk представляет собой элемент тензора второго ранга Vu.

Рис. 3.3. Упругая деформация.

Разложим этот тензор на симметричную и антисимметричную части

»«'-Kfe+Aw-Tift-a4*-

= r\ikbxh —Iikbxh. (3.72)

Антисимметричную часть Iik можно отождествить с чистым вращением.

В соответствии с разд. 3.4 установим связь аксиального вектора 1 с Iij:

S =4 V XU. (3.73)

Смещение би, соответствующее антисимметричной части -Iihdxki равно

би - -I(VXu)X бх. (3.74) 140

Г JI Л R Л 3. ТПІКЮРІШІЇ АНАЛИЗ

Это вращение вокруг мгновенной оси, которая проходит через точку P0 в направлении Еектора V х и, а угол вращения, измеренный в радианах, равен | V х и |/2. Оставшаяся симметричная часть Ijij- называется тензором чистой

деформации. Диагональные элементы тензора Tjift характеризуют удлинение, а недиагональные элементы — деформацию сдвига.

Если точка Q0 сдвинута относительно P0 только в направлении оси Xf то бх — ISjf1. Тогда из уравнения (3.72)

6ні = Tj11Sje1, Su2 = ^216*!, бг/3 ^ Лзі^лгі- (3.75)

Отсюда при наличии деформации смещение окажется равным

6^ = 6^ + 6^-(1 -Hj11^x1, \

Sy2 = 6U2 = Tj21Sx1, I (3.76)

Syз — Su3= TJ31SAT1. J

При заданном начальном расположении, бх = iojcj, диагональный элемент Tj11 вносит вклад в первую компоненту 6у (удлинение), a Tj21 и Tj3f соответственно в Sy2 и Sy3, которые характеризуют сдвиг.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed