Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(3.109)
Если теперь обозначить
^ J1, ZLssil, s /з, Ф=/4, (3.110) то уравнение (3.108а) можно переписать в форме
я *
Это уравнение по внешнему виду напоминает тензорное уравнение, однако простое сходство — еще не доказательство. Чтобы это доказать, прежде всего рассмотрим свойства преобразования обобщенного тока /ц. Элемент электрического заряда de — инвариантная величина:
de = pdxidx2dxs. (3.112)
Мы видели в разд. 3.4, что четырехмерный элемент объема dxidx2dx3dxit также инвариантен. Поэтому, сравнивая уравнения (3.53) и (3.112), можно заключить, что плотность электрического заряда р должна преобразовываться так же, 3.7. КОЙЛРИЛнТіїЛя ФОРМА УРЛІИШІШ'І MAKcni-JIJlA |4()
как и dxb четвертая компонента четырехмерного вектора dx%. Компонента /4 вектора равна ір. Другие компоненты из (3.110) можно выразить через /V
/ — J^ _ JL jlfL — iL. ^L z~ j iffL (3 из)
~ r r At /> Af Ar. ' ' '
с dt ic dt J*
Поскольку /4 преобразуется по тому же закону, что и dxk, то /і преобразуется как Cfort. Аналогичные результаты получаются для /2 и /3. Следовательно, j% и dx\ преобразуются по одному и тому же закону, т. е. д — четырехмерный вектор в пространстве Минковского.
Уравнение (3.111), которое вытекает непосредственно из уравнений Максвелла (3.102), предполагается выполненным во всех декартовых системах координат. В этом случае на основании теоремы частного заключаем, что All — вектор и уравнение (3.111) действительно тензорное.
Теперь, возвращаясь к уравнениям (3.104), можно написать
itaE}=,d-p—^ j ---1,2,3,
ах, Ji (з (14)
«./.*> = ('. 2.3)
(циклическая перестановка по i, /, k).
Определим новый антисимметричный тензор второго ранга (так как А* — вектор):
дх» дхх 'Mt-
Перепишем его в явном виде
О CBz
і S " •(злі5)
iE
X iE у
С помощью этого тензора два уравнения Максвелла (3.1026) и (3.102в) можно записать в тензорном виде
If = /x. (3.116)
В левой части этого уравнения стоит четырехмерная дивергенция тензора, т. е, вектор. Это, конечно, эквивалентно • I' л Aba о. тензорный анализ
свертыванию тензора третьего ранга d[\v/dxv (см. упр. 1 н 2 к разд. 3.2) Оставшиеся два уравнения Максвелла также запишем в тензорной форме. Имеем для уравнения (3.102г)
+ (3.117)
дхі 1 Ox2 ох3 v '
и для (3.102а) три уравнения вида
Sh-S-+^f-(3-и8)
(Второе уравнение имеет индексы 1, 2, 4, а третье 1, 3, 4.) Поскольку dfijdxv ^fAv — тензор (третьего ранга), соотношения (3.102а) и (3.102г) можно выразить тензорным уравнением
^Xnv -Ь ^vAu + 'iiva. = 0- (3.119)
Из (3.117) и (3.118) легко увидеть, что индексы Xf [х и v предполагаются различными, ибо в противном случае при 'совпадении любых двух индексов уравнение (3.119) автоматически вырождается в тривиальное тождество 0 — 0 (см. упр. 4).
Получив соотношения (3.116) и (3.119), мы полностью завершили вывод уравнений Максвелла в ковариантной форме, однако представляется интересным исследовать еще тензорные свойства fxp (3.115). «Направляющие косинусы» в преобразованиях Лоренца, соответствующих движению вдоль оси г (ось *3) со скоростью v, имеют вид *
(10 0 0 ч 0 1 0 0 1
0 0 V IprJ- (ЗЛ2°)
0 0 -i?y у I
где
? = и/с, 7 = (l-?sr,/f. (3.121)
Используя закон преобразования тензоров, можно выразить электрическое и магнитное поле в движущейся системе через соответствующие величины в неподвижной системе отсчета.
* См. сноску на стр. 147. 3.7. КОВЛРИЛИТПЛЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 151
Из уравнений (3.113), (3.115) и (3.120) получаем
= + > (3.122)
Er —
' Z----ljZJ
(3.123)
Полученную зависимость между E и В можно было ожидать заранее. В самом деле, рассмотрим, например, случай нулевого электрического поля в неподвижной системе Ex = Ey = Ez — 0. Очевидно, на покоящуюся заряженную частицу не будут действовать никакие силы. Когда частица движется с малой * скоростью v вдоль оси Zt наблюдатель, движущийся вместе с частицей, зафиксирует наличие поля (потому, что оно действует па заряженную частицу) Е'х = —vBy, Ey = vBx. Здесь В — магнитное поле в неподвижной системе. ЭтимГравенствам можно придать векторную форму
E = VXB или F = ^v x В, (3.124)
которая обычно и служит определением магнитного поля.
Наконец, тензорные (или векторные) свойства позволяют строить различные инвариантные величины. Одной из наиболее важных является скалярное произведение двух четырехмерных векторов Ax и д:
AiJx = CB0Ax + CB0Ay + CB0Az +
-Иє0фф = є0(А-і — рф), (3.125)
где А — векторный потенциал; j — плотность тока. Последний член рф описывает обычную электростатическую связь и имеет размерность энергии на единицу объема. Следовательно, новый построенный скалярный инвариант представляет собой плотность энергии. Динамическое взаимодействие поля и тока дается произведением Aj. Другие возможные инварианты электромагнитного поля рассматриваются в упр. 3.
* Если скорость не мала, так что V2Ic2 нельзя пренебречь, необходимо пользоваться релятивистскими соотношениями. 152
' ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
