Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ещ =¦-- (1 + а) Рц - a (Pnm) (3.87)
где тензор
(Р;,жН (Pnn) -Pn V P22+ P33 (3.88)
представляет собой свернутый (и, следовательно, инвариантный) тензор Pij.
Часто бывает удобнее разрешить последнее уравнение относительно Pij. Это можно сделать, положив і — j и произведя свертывание:
Enjj = (1 + ff) Pjj - 3 OPjj = (1- 2а) Pjh (3.89)
Подставим обратно в уравнение (3.87):
FfT
(1+0) Pij = Ец, j + TimwSijг (3.90) 3.G. ТНОІМІЯ УПРУГОСТИ
МГ)
или
где X и fi —коэффициенты Ламе —имеют вид
<sE E
Я-
(1 +a) (1-20)' ^ '2(1+а)'
(3.91)
(3.92)
Постоянную [X можно связать с модулем сдвига. Рассмотрим параллелепипед (рис. 3.8), жестко закрепленный на плос-скости Xi — 0; на этот параллелепипед действует тангенциальная сила PI2. Смещение равно (rj*2, 0, 0). Переходя
Рис. 3.8. Напряжение и деформация сдвига.
на тензорный язык, запишем, что все за исключением Ліг = Ції = г)/2, равны нулю. Тогда из (3.91) получим
^12 = 2ц у Tj = |АТ), (3.93)
откуда видио, что ft —отношение напряжения сдвига к модулю сдвига г).
Если деформация сферически симметрична, как при гидростатическом сжатии, то
Ли = Л22 = Лзз, Л12 = Ліз = Лгз = 0. (3.94) В этом случае
P11 = 3 Xii11 -I- 2\ІУ]Ц = 3 Ь)ц, (3.95)
где
k = %-j- -тг (Л. ч
(3.96)
JO- 146
' ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Поскольку в первом приближении Зі)и представляет собой относительное изменение объема, постоянную k можно отождествить с коэффициентом объемного расширения.
Обобщение на случай анизотропных свойств твердого тела получается с помощью обобщенного закона Гука и все той же линейной зависимости между напряжением и деформацией
Pij = CijkWhu (3-97)
где В соответствии С теоремой частного Cjjkl — тензор четвертого ранга. В силу симметричности тензора напряжений Pij и тензора деформации %
сны = Cjihi ~ Cijih = Cjiih1 (3.98)
поэтому число независимых компонент уменьшается с 81 = = 34 до 36. Далее можно показать*, что
Cijhi = ChUj, (3.99)
после чего число независимых компонент снизится до 21.
В случае применения общего тензорного соотношения (3.97) K изотропному телу тензор упругости Cijhl должен быть линейной комбинацией более общих изотропных тензоров четвертого ранга. Использовав результаты упр. 5 (разд. 3.4), получим
Cijhi = abijbhi + Ь [SihSji + Siibjk] + с [SikSji — SuSjk]. (3.100) Подставим это в уравнение (3.97):
Pij = абит|МH- b (Tjii + т]ji) + с (т|0— тіл). (3.101) Поскольку riij симметричны, то, в полном согласии с (3.91),
Pi] = ar\kkSij-\-2bi]ij.
Упражнение
Трехмерный тензор четвертого ранга cijki удовлетворяет условиям: Cijhi = Cjihi = Cijih = Cjiik. Показать, что эти условия приводят K уменьшению числа независимых компонент, ИЛИ элементов, CiJhl с 81 до 36. Далее, показать, что при выполнении условия Cijhi = Ckiij число независимых компонент сокращается до 21.
* См. S о к о 1 и і k jo f f I. S. Mathematical Theory of Elasticity. N.Y., McGraw-Hill, 1956, 1'?. KORAPilAll ГПАя ФОРМА УРЛІНИ'ІІИЙ MAKCjn-JtJiA 147
1 _
3.7. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Как известно из специальной теории относительности, преобразования Лоренца, связанные с пространством и временем, эквивалентны вращению в четырехмерном пространстве Мииковского *, в котором четвертая координата xk — id. Мнимая единица і введена для того, чтобы в этом пространстве четырехмерный аналог теоремы Пифагора имел такой же вид, как в трехмерном пространстве. Запишем уравнения Максвелла в тензорном виде в пространстве Минковского. Если это возможно, то благодаря свойствам преобразования тензоров автоматически будет достигнуто согласие со специальной теорией относительности. Уравнения Максвелла в вакууме (е = е0, ^ = р<о) имеют вид
VxE=-- (3.102а)
VxH^-l-pv, (3.1026)
V D-P, (3.102B)
V-B = O, (3.102г)
где
D = e0E, В- [х0Н. (3.103)
Привлекая скалярный и векторный потенциалы, можно записать
B = VxA, E=-^--V4). (3.104)
В уравнение (3.104) входит ротор А; дивергенция А пока еще не определена (см. разд. 1.13 и 1.15). Однако для удобства можно наложить новое ограничение на векторный потенциал А —условие Лоренца:
V-A + є0|х0-^- = 0. (3.105)
Из уравнений (3.102в) и (3.104) следует, что
= ' (З-106)
* Г о л д с т е и н Г. Классическая механика. Перев. с англ. M., Гостехтеориздат, 1957, глава 6. Тензорное уравнение для фотонов 2 я!=5 0 приводит к преобразованиям Лоренца.
10* >
Г Jl A ? Л 3. ТКНЗОРПЫП ЛИAJltta
а из уравнений (3.1026), (3.104) и (1.80) получим
(VV-A-V2A)-^. (3.107)
dt2 1 dt r f()|i0 x ' f0 v '
Воспользуемся условием Лоренца (3.105) и зависимостью 80(j,0=l/c2:
—и—, [^-+а«—І-
-(3.108)
1 O2
Дифференциальный оператор U2- V2 —-2 • ^ в простран-
4
vi д2
стве Минковского равен 2j • Здесь использованы
индексы, принятые в специальной теории относительности. Легко показать, что D2-скалярный оператор (см. упр. 2 к разд. 3.4).
Для удобства положим
Ai ^ сг0АХі A2 = ~ - сг0Ач,
Hot
= — ^ CEqAzi Ai ~ IE0ф.
}10С
