Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
1. Доказать, что
а=( »2 -хул »a=(-'! ")
\—ху X* ) \ У ху)
являются тензорами, а
C=(eijtJ). D=Cl Л \ху XVx2 —ху }
нет.
2. В общей теории относительности четырехмерный тензор кривизны четвертого ранга Rikim (Римана —Кристоффеля) удовлетворяет условиям симметрии Rihim-S-Rihmi--Rhiim- Показать, что число независимых компонент при этом условии снижается с 256 до 36, а условие Rihim-Rlmik дополнительно уменьшает число независимых компонент до 21 (индексы принимают значения от 1 до 4). Наконец, показать, что если справедливо тождество R^m~bRiimh-\~Rimhl =0» то число независимых компонент равно 20. Замечание. Последнее соотношение можно считать дополнительным условием только в .том случае, когда все четыре индекса различны. Тогда число независимых компонент уменьшается на одну треть.
3. Разложить тензор ^ у* ху) на СимметРичнУю и антисимметричную части. 3.2. СВЕРТЫВАНИЕ. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
125
4. Доказать, что если компоненты тензора произвольного ранга равны нулю в заданной системе координат, то они равны нулю и во всех остальных системах координат.
5. Компоненты тензора А равны соответствующим компонентам
тензора В в некоторой заданной системе координат, т. е. A°ji~Bij.
Показать, что тензор А равен тензору В во всех системах координат, т. е. Aij = Bij.
3.2. СВЕРТЫВАНИЕ, ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Изучая векторы, мы определили скалярное произведение (разд. 1.3) как сумму произведений соответствующих компонент:
A-B = (AiBi). (3.23)
Обобщением этого выражения в тензорном анализе служит операция свертывания. Два индекса, один ковариантный, а другой коитравариантный, полагаются равными друг другу и затем (в соответствии с правилом суммирования) производится суммирование по этому повторяющемуся индексу. Например, свернем смешанный тензор второго ранга в\
Ri Ri dXi dxI Rk dxI Rk (fX «Ш
с учетом уравнений (3.18) и (3.19)
Bii^blhB1I = Bhh. (3.25)
»
Таким образом, свернутый смешанный тензор второго ранга инвариантен и, следовательно, является скаляром. Это в точности соответствует тому, что мы получили в разд. 1.3 для скалярного произведения двух векторов и в разд. 1.7 для дивергенции вектора. Вообще, операция свертывания уменьшает ранг тензора на два.
Компоненты ковариантного и контравариантного векторов (тензоров первого ранга) можно умножить одна на другую, в результате чего получится член аф3. Согласно определению (3.13), полученное произведение есть тензор второго ранга
Производя свертывание, как и в уравнениях (3.24) и (3.25), получаем обычное скалярное произведение
шЬ1' = акЬ\ (3.27) 126
' ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Приведенная операция называется прямым произведением. В случае двух векторов прямое произведение представляет собой тензор второго ранга. Именно в таком смысле можно понимать величину VE, которая не была определена в рамках векторного анализа. И вообще, прямое произведение двух тензоров есть тензор, ранг которого равен сумме рангов двух первоначальных тензоров, т. е.
AijBkl = CiF, (3.28)
„ л Mkl
где Cj —тензор четвертого ранга.
До сих пор мы сохраняли различие между ковариантным и контравариантным преобразованиями, поскольку оно имеет место в неевклидовом пространстве и играет большую роль в общей теории относительности. В связи с этим мы отсылаем читателей, интересующихся этим вопросом, к большому числу превосходных специальных курсов, а сами ограничимся в оставшейся части этой главы декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем различать ковариантные и контравариантные тензоры, поэтому примем систему нижних индексов. Кроме того, будем .пользоваться правилом суммирования и операцией свертывания.
Правило суммирования. Если индекс (буква, но не число) встречается дважды на одной стороне уравнения, то но этому индексу подразумевается суммирование.
Свертывание. Свертывание заключается в приравнивании двух различных индексов друг другу и в последующем применении правила суммирования.
Упражнения
1. Задан тензор п-го ранга T i. Доказать, что дТ jJdxj—
тензор (rt-f 1)-го ранга (в декартовых координатах). Замечание. В любой другой системе координат коэффициенты Gjj-, вообще говоря, зависят от координат, и производная тензора п-го ранга не есть тензор, за исключением специального случая л — 0, когда производная (3.11) —ковариантный вектор, т. е. тензор первого ранга.
2. Задан тензор п-го ранга Ti^h,.., доказать, что 2 дТ^к _ (дх)—
тензор (п — 1)-го ранга (в декартовых координатах).
3. Величина L —скалярная функция иедекартовых переменных qi,
их производных по времени qi и, кроме того, в явном виде зависит от времени t, т. е. L' {q'i, q't, qu Q- Показать, что 3.3. ПРАВИЛО ЧАСТНОГО
127
j—представляют собой компоненты вектора. Замечи
ние. Считается, что qj и qj независимые переменные. Однако dqj/dqj ф 0.
4. Задана скалярная функция L, которая представляет собой лагранжиан L-T—V частицы или системы частиц (разность кинетической и потенциальной энергии). Показать, что вектор /-^Л —
