Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2. Критерий Альдуса «работает» тогда, когда процессы Xn, n^l, «асимптотически квазинепрерывны слева». Некоторое представление об этом можно получить, если просто предположить, что все Xn=X. Тогда, очевидно, условие (а) теоремы 4.21
205:выполнено, а (4.88) выполнено в том и только том случае, когда процесс X — квазинепрерывен слева (т. е. Г< <ос) =0 для всякого предсказуемого момента Т.
3. Если Fn — максимально возможная фильтрация, т. е. SFtn=Srn для всех Qs0, то условие (4.88) будет обеспечивать С — плотность семейства {Хп}.
Из теоремы 4.22 выводятся следующие следствия. Следствие 1. Если Xn — локально квадратично интегрируемые мартингалы и Gn = (Xn), 1, то для плотности семейства {Хп} достаточно, чтобы
(a) семейство {Х0"} было плотным (в ?'),
(b) семейство {<Л">} было С-плотным (в D),
т. е. семейство {<Х">} плотно и все слабые пределы есть непрерывные процессы.
P
Так чю, если a priori известно, что ( Xrt > t—>Ct, t~>0, где С =(Cf)^o-непрерывный процесс, то семейство \хп — xo) является плотным.
Следствие 2. Пусть Xn — семимартингалы, с три-
плетами Tn= (Bn = Bn (h), Cn, vn), где h = h(x) —ограниченная функция с компактным носителем и удовлетворяющая свойству h(x)=x в окрестности нуля. Пусть
С" = C" +A2*V-2 (A??)2
— модифицированная вторая характеристика Xn. Предположим, что выполнены следующие условия:
(1) последовательность (xo) плотна (в e1);
(2) для ^cex TV >0, є > 0
HmIlm P"{v"([0, TV] X {х:| X I > а})> є) =0;
a t оо п
(3) каждая из последозательностей (Bn), (Cn), (gp*v'r) с gp(x)= = (р\х\ — 1)+Д1, P^N*, является С—плотной.
Тогда последовательность {X") является плотной. Эти критерии «хорошо обслуживают» случаи сходимости к квазинепрерывным процессам. В общем же случае приходится' прибегать к более сложным критериям. Важно при этом подчеркнуть, что они также выражены в предсказуемых терминах.
§ 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу
1. Перейдем теперь к результатам о слабой сходимости семимартингалов Xn к семимартингалу X. Следует сразу отме-
тить, что здесь идеология «Тп-*-Т»=$-«Хп->-Х» через «плотность» ©«сходимость конечномерных распределений» не работает по той причине, что трудно устанавливать слабую
сходимость Xn--->-Х, когда процесс X не является процессом
20 Sс независимыми приращениями, а есть семимартингал сколь-нибудь общей структуры (даже, скажем, процесс диффузионного типа).
Однако, приведенная выше схема Доказательства «Г"->-7»=> S
=>Xїї с использованием трех промежуточных этапов
I. Установление плотности семейства {Хп},
II. Характеризация всех слабых пределов P'(= та-Нт Р" ),
III. Идентификация предельных точек P' с P в общей ситуации также работает, но требует привлечения новых «мар-тингальных» идей. Поясним, это на том примере, когда Xn ( = Мп) являются мартингалами (более общо, локальными мартингалами).
Итак, пусть Mn1 тС^ 1, являются мартингалами, причем I-MrtI^fr для всех п и распределения S(Mn) сходятся (слабо) к распределению S(M) некоторого процесса М. Нетрудно показать, что тогда процесс M является (по отношению к естественной фильтрации и закону S(M)) мартингалом. Аналогичный результат остается справедливым, когда Mn, являются локальными мартингалами с равномерно ограниченными
w
скачками, IAAf71I^fr, если S(Mn)--*S (M), то M — ло-
кальный мартингал.
Иначе говоря, класс локальных мартингалов (с равномерно ограниченными скачками) является устойчивым в смысле слабой сходимости.
Перейдем теперь к вопросу о характеризации процессов, являющихся слабыми пределами семимартингалов Xn с триплетами Tn= (Вп, Cn, vn), 1.
С этой целью введем ряд обозначений и условий.
Прежде всего будем предполагать, что «предельный» процесс X есть канонический: Xt(a)—a(t), где а = а(/), /^0, — функции из пространства D. Пусть также заданы объекты T = = (В, С, v), играющие в дальнейшем роль триплета «предельного» процесса X и определяемые следующим образом:
5 = (5,(а))*>о — предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, B0 = 0;
С=(С/(а))*>о — непрерывный неубывающий согласованный процесс с C0=O;
V = v(a; dt, dx) — предсказуемая случайная мера на/^+X-f1 такая, что
V(^X(Ol)=VpXf1) = O, (1 Д| X |2)*v, < ю, \v({t}Xdx)h(x) = HBi, V(^)Xf1Xl1 t> 0.
E1
Положим также
С = С + А2^-2(А5,)2 (4.89)
5<-
207:и введем следующие (на первый взгляд, возможно, несколько странные) условия
(?-S) Bl-В ,^Xn L 0, tes,
(Ч-S) Cl-CtохЛо, tes,
(6-5) /eS,
сводящиеся к уже рассмотренным ранее условиям, когда В, С, v являются просто детерминированными функциями.
Нам понадобятся также следующие условия (мажорируемо-сти и непрерывности):
sup[C,(a)j< оо , sup I g*v, (а)! Для всех />0, ggGj (4.90)
а а
и Для всех t> О и ge.G\ функции a-+Bt(a), Ct(a), g*vt(a) являются Р-п. н. непрерывными в топологии Скорохода, где P — слабый предел законов a(Xn). (4.91)
Теперь можно сформулировать основной результат, «обслуживающий» этап 11 характеризации слабых пределов S(Xn).
Теорема 4.23. Пусть S(Xn) слабо сходятся к некоторому вероятностному распределению Р. Пусть выполнены условия (?-S), (f-S), (o-S) для некоторого всюду плотного подмножества в R+, содержащегося в R+\{ty>0: P (AX4=^O) >0} и пусть также выполнены условия мажорируемости (4.90) и непрерывности (4.91).