Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда X является семимартингалом на (D, 2), Р) с триплетом предсказуемых характеристик T = (В, С, v).
Идея доказательства этой теоремы основывается на том факте, что согласно теореме 4.11 проверка «семимартингально-сти» равносильна проверке того, что три процесса (см. п. 6) в теореме 4.11) являются локальными мартингалами. Поэтому процессы Mn(h)^Xn(h)—X0n—Bn, (Mn (h))2—Cn, g*\in—g*vn являются (относительно мер 3?(Хп)) локальными мартингалами, и доказательство теоремы сводится к проверке того, что условия теоремы гарантируют, что соответствующие процессы M(h) ssX(Ii) — X0-В, (M(h))2—C, g*[i—g*v на стохастическом базисе (D, Sb, (Sbt), Р) также являются локальными мартингалами.
Существуют и другие результаты «характеризационного» типа. Например, пусть
(Xn, В\ С1)^(Х, В, С) (4.92)
и
(Хп, g*v*)Z(X, g*v), geC,. (4.93)
208: Тогда процесс X является семимартингалом с триплетом (В, C,v) (См. теорему 2.4, гл. IX, [40]).
Или, пусть, например, X—канонический процесс, Sks [•], Sk2 [•] — расстояния, совместимые с топологией Скорохода в
w
D(E3), D(E2). Тогда, если (Xn)-^P,
SkJ(Xn, Bn, Cn), (X, В, 0,
Sk, [(Xn, g*vn), (X, g*v)OXnZo, gеси
и функции а-*-(а, В (а), С (а)) и a-* (a, g*v (a)), являют-
ся Р-п. н. непрерывными, то X на стохастическом базисе (D, SD, (SDt), Р) будет семимартингалом с триплетом T = = (В, C,v). (См. теорему 2.22, гл. IX в [40]).
имея теперь к кашей основной задаче получени
Se
результатов для семимартингалов типа «Т" X». Мы
будем снова следовать схеме
I Л Ш
Приведенные выше результаты «обслуживают» пока только этап II («характеризация»). Рассмотрим теперь результаты относительно характера сходимости «Тп->-Т», которая обеспечивает одновременно и этап I («плотность») и этап II «характеризация»), Что же касается этапа III, то мы будем просто предполагать, что триплет T= (В, С, v) таков, что он единственным образом определяет меру P такую, что канонический процесс X, относительно этой меры P имеет своим триплетом именно набор T=(B,C,v). (К этому вопросу существования и единственности «семимартингальной» проблемы мы вернемся в § 8).
Приведем (хотя и длинные) точные формулировки теорем о сходимости, предполагая, что Xon=O, Xo = O.
Начнем со случая, когда «предельный» процесс X является квазинепрерывным слева, т. е. v({Z}X?')=0.
Теорема 4.24. Пусть S—-некоторое всюду плотное множество в R+ и выполнены следующие условия на T= (В, С, v):
(1) строгая мажорируемость в том смысле, что существует непрерывная и детерминированная возрастающая функция t-*-Ft, которая строго мажорирует1^ функции Var (В (а)) и С (a) + (I л; 12A1) *v (сс) для всех «6D;
*> Мы говорим, что функция t-^-Ft строго мажорирует функцию <->-0( (пишем: G-K.F), если функция t->-Ft—Gt является неубывающей.
14—792
209 (2) условие на «большие» скачки:
Iim sup V (а; [0, t] X {х: j х [ > а}) = 0;
a-f оо OgD
(3) условие непрерывности: для всех t&S, g^C\ функции a-*-Bt(a), Ct (a), g*vt(a) непрерывны в топологии Скорохода.
Пусть также выполнены следующие условия на сходимость «Тп->-Т»: j
(sup-?) sup) Bnt-t> О,
(T-S) Cl-CtOX" ^O, tes, (б-5) g^-igtv^X^O, teS, где S —некоторые всюду плотное множество в R+.
w SE
Тогда S (Хп)-+Р, т.е. Xn-+X.
Замечание. В случае, когда предельный процесс X является процессом с независимыми приращениями без фиксированных моментов скачков, из этой теоремы вытекает теорема 4.7.
Отказ от предположения «квазинепрерывности слева» предельного процесса X приводит к следующему общему результату.
Теорема 4.25. Пусть выполнены следующие условия:
(1) строгая мажорируемость в том смысле, что существуют детерминированные возрастающие функции t-*-Ft, t-*-Ftg такие, что для всех «6D, g?C{
Var (Я (а))-?/7, С (a)^F, g*v(a)-^F^;
(2) условие на <большее скачки-
Iim sup V (а; [0, t\X [х: | л: | > а})=0;
a f оо а
(3) условие непрерывности: если S — всюду плотное множество в R+, содержащееся во множестве тех моментов времени t, для которых AFt= О и AFtZ = о для всех g^Ci (F и Fs определены в (1)), то функции a-+Bt(a), Ct (a), g*v<(a) непрерывны в топологии Скорохода для всех №S, gdC\.
Пусть также выполнены следующие условия на сходимость
(Sft-?)Sft(?re, ВоХ")Р-+0,
(Sft-T)S,(C", CoX")Zo,
(Sft— o)Sft(g"*v", {g*v\oXn)Zo, gecu где Sk — метрика, совместимая с топологией Скорохода. 2 IO Тогда (снова в предположении, что триплет T однозначно S
определяет меру Р) Хп->Х, т. е. S(Xn) Р.
Замечание. Если предельный процесс X является процессом с независимыми приращениями, то из приведенной теоремы получаем результат теоремы 4.9.
2. Приведем ряд примеров, иллюстрирующих предельные теоремы о слабой сходимости распределений вероятностей семимартингалов.
Пример 1. Сходимость диффузионных процессов со скачками.
Мы предполагаем, что процессы X и Xn, /O=I, имеют следующую структуру.
Процесс X, заданный на каноническом пространстве, является однородным диффузионным процессом со скачками, т. е.
t t
Bi = ^ b(Xs)ds, Ct=i^ с (Xs) ds, с (je) > О, о о
