Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.11. Условие
a) X есть семимартингал с триплетом T= (В, С,\) равносильно условию
b) процессы
M (h)=X (H)-X0-B, M2(H)-C, g*n-g*v
являются локальными мартингалами (gk$?+(R+)).
4. Перейдем теперь к изложению результатов о сходимости ^1(S) S
Xn-->Х и сходимости Xn--семимартингалов Xn к процессу с независимыми приращениями. При этом будем стре-
13* 195 миться к тому, чтобы дать ответ в символическом виде
(S) ^(S)
<сТп^Т=>Х" (4.71)
«Т" Т=>Хп X», (4.72)
понимая под сходимостью триплетов подходящую сходимость их компонент.
Что касается конечномерной сходимости (4.71), то здесь естественно снова было бы пытаться применить метод характеристических функций. Однако, непосредственная проверка того, что, скажем, одномерные распределения у Xtn сходятся к одномерным распределениям Xt не так уж и просто поскольку трудно выразить в терминах триплетов характеристическую функцию
gn (K) = EeikxI
Для процесса X с независимыми приращениями характеристическая функция
gt(K) = Eeax< как было указано в (4.47) имеет простой вид:
gt (K) = Z (G(K))t = e°<w П (1-ЬЛ0ЛМ)^ДО^\ (4.73)
О <s<J
где
t
Gt(I) = HBt---Gt + Jj (e'^ — l -ikh(x))v(ds, dx). (4-?4)
О Я1
Для произвольного семимартингала X" также можно ввести соответствующие кумулянты
t
Qnt(K) = IrKBnt —у- Cnt + j j -1 - iXh (X)) V" (ds, dx), (4.75)
0
существующие, поскольку процесс (JC2Al)*V — локально интегрируем.
Как связаны между собой стохастические экспоненты Z(Gn(K))t
IXXni
и характеристические функции gn (K)=Ee процесса Xй? Этот вопрос вполне правомерен, если иметь в виду, что для процессов X с независимыми приращениями gt(K) = Ee'XXt = Z (G(K))t.
Можно было бы думать, что g"(K) есть EcS(Gn(K))n но это не так! На самом деле, справедлив следующий результат.
196: Теорема 4.12. Пусть &(G(X)) не обращается в нуль при
всех X^E1. Процесс Xn есть семимартингал с триплетом Г« =
= (Bn, Cn, v") тогда и только тогда, когда при каждом K^E1 процесс
пх»
—--(4.76)
S ((Jn (к)) у
является локальным мартингалом.
Таким образом (в условиях теоремы) можно утверждать,
что
Г,Xn
е = cS(G'>(X))tnin(X)t,
где тп(Х) —локальный мартингал и значит характеристическая функция
g" (K)1 = E^ (G^(K))lIn" (K)t.
Локально мартингал Hin(K) «плохо контролируется» с точки зрения его свойств, однако, уже только свойство «мартингаль-ности» тп(К) оказывается вполне достаточно емким для последующих (как, впрочем, и многих других) рассмотрений. (В общем случае, когда S (Gri (К)) обращается в нуль соответствующий аналог теоремы 4.12 также существует, но формулировка много сложнее).
Теорема 4.13. Пусть «предельный» процесс X является процессом с независимыми приращениями без фиксированных моментов скачков, т. е. g(K)t?=0 для всех К я t. Если
S(Gn(K))Ag(K)t = S(G(K))t, teS, (4.77)
S (S)
то Xn—"X, т. е. имеет место слабая сходимость конечномерно распределений в моменты времени, принадлежащими множеству 5.
Идею доказательства этой теоремы можно пояснить следующим образом, ограничившись одномерным случаем, S={/}.
Согласно методу характеристических функций все, что надо доказать, это доказать сходимость характеристических функций
g" (K)l-^g (K)t, КЄЕ\
или, что
--1 -V О, KfE1, (4.78)
g(k)t ~
поскольку g(X)/=7^0. Но в силу (4.76), считая Xn0 = O, находим, что
1 Е g (G(X))1 ¦
197: Поэтому (4.78) равносильно тому, ч-то
Их" IKXnt
О ' /У 1
IXXn
F___
I ё (U(K)t s(Gn (K))t_
Для чего, конечно, достаточно, чтобы
S(Q(K))t S(Grt(X))i
О, П-+ оо .
(4.79)
Если
S(Q(K))t S(Q11(K))t
<С(К, t),
то (4.79) следует из (4.77) и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.
Общий случай сводится к рассмотренному с помощью введения подходящих моментов остановки.
Сходимость стохастических экспонент & (Gn (К)) t к Z(G(K))t, обеспечивающая сходимость соответствующих характеристических функций gn(K)i к g(K) f, послужила основой того, что им-
пликация (4,77) =^X7'---->Х получила название метода «стохастических экспонент».
В случае, когда процессы Xn к тому же являются процессами с независимыми приращениями, сходимость (4.77) обращается просто в сходимость характеристических функций. Так что в этом случае метод стохастических экспонент совпадает с методом характеристических функций.
Тот факт, что коммулянты Gn(K) и G(Ai) выражаются через триплеты Tn и Т, дает надежду, что сходимость (4.77) можно выразить с помощью подходящей сходимости триплетов Tn к Т. Следующая теорема конкретизирует эту идею.
Теорема 4.14. Предположим, что процесс X не имеет фиксированных моментов разрывов _ (эквивалентно, v((i}X;?') = = 0 для всех t?R+, так что В и С — непрерывны). Предположим, что
S(S)
supv,({s}X{|A;|>s})-^0, teS, s>0,
(4.80)
и что выполнены услозия
(P) Bn-^B1, tes, (Y) Cn^Ct, tes, (б) g*4?^>g*vt, teS, geCi.
198: Если S всюду плотно в R+, то условие (б) обеспечивает условие (4.80) (так что в этом случае для сходимости достаточно выполнения условий (?), (і), (б)).
