Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
192: Будем говорить также, что случайный процесс A = (At) t>о является процессом класса Y, или процессом локально ограниченной вариации, если на любом интервале [0, t] траектории As (со), s6[0, t], имеют ограниченную вариацию для любого (o6Q и At—^",-измеримы, t^O.
3. Теперь мы в состоянии дать определение важного для нас понятия «семимартингал».
Мы говорим, что процесс X = (Xt) заданный на стохастическом базисе SS= (Q, F, Р), является семимартингалом, если Xt—^"(-измеримы, t^0, и возможно представление (вообще говоря, неоднозначное) вида
Xt=X0+Mt+At, (4.61)
где M — локальный мартингал (MGJtioc), а А — процесс локально ограниченной вариации (AZY).
Для дальнейшего нам понадобится важное понятие предсказуемой ст-алгебры 9і и предсказуемого процесса.
По определению о-алгебра 9 подмножеств в пространстве ?2X^+={(co, t) : соШ, t?R+} называется о-алгеброй предсказуемых множеств, если она порождена всеми непрерывными слева процессами Y=Y(со, t), рассматриваемыми как отображения Q~X_R+ в R, являющимися при каждом t ^",-измеримыми. (Равносильным образом о-алгебру 9 можно определить как систему, порожденную множествами вида ЛХ{0}, где и A~X_(s, t],
s<Zt, AiiSTs или как систему, порожденную множествами вида ЛХ{0}, где АЄ?Г0 и стохастическими интервалами [0, т] = {(со, i) : О^^^т(со)}, где т—т(со)—моменты остановки).
Случайный процесс Y= (Yt (со)) (5>0 называется предсказуемым, если он и рассматриваемый как отображение QX-/?+ в E1, измерим относительно о-алгебры <?:
{(со, i) : Yt(a>)?B}e&
для всякого борелевского множества В в EK
Термин «предсказуемый» процесс оправдан тем, что процесс, у которого траектории непрерывны слева, обладает тем свойством, что по значениям Y8, s<ii, можно восстановить значение Yt. Всякий детерминированный процесс является, разумеется, предсказуемым. Тем самым, «предсказуемость» можно интерпретировать как «стохастическую детерминированность».
Весьма примечательно, что всякий семимартингал X= = (A',),5.0, заданный на стохастическом базисе S8, допускает (каноническое) представление
X,(co) = ^0 + ?,(co)+^ (со) + 1 t + 5 J h — v)+ jj \(x-h())dv (4.62)
13—7927
193 внешне напоминающее представление (4.57) для процессов с независимыми приращениями и отличающееся от него лишь тем, что вместо детерминированных В, V и непрерывного гаус-совского процесса X с независимыми приращениями здесь, в (4.62),
1) В = (Bt(a));>0 является предсказуемым процессом класса Y,
2) ХС = (Х/(со))/:>о —непрерывная мартингальная составляющая X,
3) v — компенсатор меры скачков р процесса X; (jc2a!)*v =
t
= Jj J (.Xr2Al)rfv — локально интегрируем и
0 E1
ABt = Jj h (х) V ({*}XdJc).
E1
Напомним, что всякий непрерывный мартингал является локально квадратично-интегрируемым и по теореме Дуба— Мейера существует такой возрастающий предсказуемый процесс <ХСУ, что (Xе)2—<Х> есть локальный мартингал. Этот процесс <ХСУ мы будем обозначать через C = (Ct (со)) t>o и он называется квадратической характеристикой Xе. Напомним также, что компенсатор v = v(со; dx, dt) меры скачков р,= = р (со; dx, dt) процесса X определяется как такая неотрицательная предсказуемая случайная мера, что
— g*v = |j |jg(jc) р (со; dx, ds)— |j jj g (x)v (со; dx, ds) 1(4.63) V 0E1 0E1
является локальным мартингалом (для достаточно широкого класса ограниченных неотрицательных борелевских функций g — g(x), исчезающих в окрестности нуля).
Набор
T= (В, С, V) (4.64)
называется триплетом предсказуемых характеристик семимартингала X.
Для семимартингала X компенсатор v его меры скачков удовлетворяет тому свойству, что процесс
(I JC I2Al)*V^ = 5 Jj (UI2Al)Cfvj (4.65)
является локально интегрируемым, а
ABt=ih(x)v({t)Xdx), t>0. (4.66)
Для того, чтобы объяснить откуда для семимартингалов возникает представление (4.62), положим
t
X(h)t= 2 [AX,-A(AXJ= ^ (Ar-A(JC))^p
0 <s<t
0 E1
194: и пусть
t
x(h)t = xt-xt(h) = xt-^ J(JC-A(JC))CflI (4.67)
О E1
— процесс с ограниченными скачками. Известно, что всякий такой процесс X(H) допускает и притом единственное представление
X (H) =X0+M (H)+В (H) (4.68)
с M(H)^Jlioc и предсказуемым процессом B(H)?Y. В свою очередь локальный мартингал M(Ii) может быть записан в виде
M (H)t = Mc (H)t +Md (H)h (4.69)
где Alc(A) —непрерывный локальный мартингал, a Ald(A) —* чисто разрывный локальный мартингал, представимын в виде
t
Md(h)t=\ jjA(;c)</(n — v). (4.70)
о я1
Из (4.67) — (4.70) получаем вышеприведенное представление (4.62):
t
xt = x0 + в (h)t armc(ii)t + J J A (JC) d (а - *) + J J С* h (je)) сіп.
Ofi1 » О Ei
Здесь процесс Alc(A)—непрерывный локальный мартингал, не зависящий от выбора функции «урезания» А и являющийся тем самым, так сказать, «внутренней» характеристикой процесса X. Этот процесс обозначается Xе и называется непрерывной мар-тиигальной составляющей семимартингала X. Компенсатор v также не зависит от А и тоже является «внутренней» характеристикой X.
3. Уместно сейчас отметить связь семимартингала X с триплетом T= (В, C,v) и некоторой «мартингальной проблемой». Именно, справедлив такой результат.
