Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 76

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 93 >> Следующая


2. Критерий Альдуса «работает» тогда, когда процессы Xn, n^l, «асимптотически квазинепрерывны слева». Некоторое представление об этом можно получить, если просто предположить, что все Xn=X. Тогда, очевидно, условие (а) теоремы 4.21

205: выполнено, а (4.88) выполнено в том и только том случае, когда процесс X — квазинепрерывен слева (т. е. Г< <ос) =0 для всякого предсказуемого момента Т.

3. Если Fn — максимально возможная фильтрация, т. е. SFtn=Srn для всех Qs0, то условие (4.88) будет обеспечивать С — плотность семейства {Хп}.

Из теоремы 4.22 выводятся следующие следствия. Следствие 1. Если Xn — локально квадратично интегрируемые мартингалы и Gn = (Xn), 1, то для плотности семейства {Хп} достаточно, чтобы

(a) семейство {Х0"} было плотным (в ?'),

(b) семейство {<Л">} было С-плотным (в D),

т. е. семейство {<Х">} плотно и все слабые пределы есть непрерывные процессы.

P

Так чю, если a priori известно, что ( Xrt > t—>Ct, t~>0, где С =(Cf)^o-непрерывный процесс, то семейство \хп — xo) является плотным.

Следствие 2. Пусть Xn — семимартингалы, с три-

плетами Tn= (Bn = Bn (h), Cn, vn), где h = h(x) —ограниченная функция с компактным носителем и удовлетворяющая свойству h(x)=x в окрестности нуля. Пусть

С" = C" +A2*V-2 (A??)2

— модифицированная вторая характеристика Xn. Предположим, что выполнены следующие условия:

(1) последовательность (xo) плотна (в e1);

(2) для ^cex TV >0, є > 0

HmIlm P"{v"([0, TV] X {х:| X I > а})> є) =0;

a t оо п

(3) каждая из последозательностей (Bn), (Cn), (gp*v'r) с gp(x)= = (р\х\ — 1)+Д1, P^N*, является С—плотной.

Тогда последовательность {X") является плотной. Эти критерии «хорошо обслуживают» случаи сходимости к квазинепрерывным процессам. В общем же случае приходится' прибегать к более сложным критериям. Важно при этом подчеркнуть, что они также выражены в предсказуемых терминах.

§ 7. Сходимость семимартингалов к семимартингалу

1. Перейдем теперь к результатам о слабой сходимости семимартингалов Xn к семимартингалу X. Следует сразу отме-

тить, что здесь идеология «Тп-*-Т»=$-«Хп->-Х» через «плотность» ©«сходимость конечномерных распределений» не работает по той причине, что трудно устанавливать слабую

сходимость Xn--->-Х, когда процесс X не является процессом

20 S с независимыми приращениями, а есть семимартингал сколь-нибудь общей структуры (даже, скажем, процесс диффузионного типа).

Однако, приведенная выше схема Доказательства «Г"->-7»=> S

=>Xїї с использованием трех промежуточных этапов

I. Установление плотности семейства {Хп},

II. Характеризация всех слабых пределов P'(= та-Нт Р" ),

III. Идентификация предельных точек P' с P в общей ситуации также работает, но требует привлечения новых «мар-тингальных» идей. Поясним, это на том примере, когда Xn ( = Мп) являются мартингалами (более общо, локальными мартингалами).

Итак, пусть Mn1 тС^ 1, являются мартингалами, причем I-MrtI^fr для всех п и распределения S(Mn) сходятся (слабо) к распределению S(M) некоторого процесса М. Нетрудно показать, что тогда процесс M является (по отношению к естественной фильтрации и закону S(M)) мартингалом. Аналогичный результат остается справедливым, когда Mn, являются локальными мартингалами с равномерно ограниченными

w

скачками, IAAf71I^fr, если S(Mn)--*S (M), то M — ло-

кальный мартингал.

Иначе говоря, класс локальных мартингалов (с равномерно ограниченными скачками) является устойчивым в смысле слабой сходимости.

Перейдем теперь к вопросу о характеризации процессов, являющихся слабыми пределами семимартингалов Xn с триплетами Tn= (Вп, Cn, vn), 1.

С этой целью введем ряд обозначений и условий.

Прежде всего будем предполагать, что «предельный» процесс X есть канонический: Xt(a)—a(t), где а = а(/), /^0, — функции из пространства D. Пусть также заданы объекты T = = (В, С, v), играющие в дальнейшем роль триплета «предельного» процесса X и определяемые следующим образом:

5 = (5,(а))*>о — предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, B0 = 0;

С=(С/(а))*>о — непрерывный неубывающий согласованный процесс с C0=O;

V = v(a; dt, dx) — предсказуемая случайная мера на/^+X-f1 такая, что

V(^X(Ol)=VpXf1) = O, (1 Д| X |2)*v, < ю, \v({t}Xdx)h(x) = HBi, V(^)Xf1Xl1 t> 0.

E1

Положим также

С = С + А2^-2(А5,)2 (4.89)

5<-

207: и введем следующие (на первый взгляд, возможно, несколько странные) условия

(?-S) Bl-В ,^Xn L 0, tes,

(Ч-S) Cl-CtохЛо, tes,

(6-5) /eS,

сводящиеся к уже рассмотренным ранее условиям, когда В, С, v являются просто детерминированными функциями.

Нам понадобятся также следующие условия (мажорируемо-сти и непрерывности):

sup[C,(a)j< оо , sup I g*v, (а)! Для всех />0, ggGj (4.90)

а а

и Для всех t> О и ge.G\ функции a-+Bt(a), Ct(a), g*vt(a) являются Р-п. н. непрерывными в топологии Скорохода, где P — слабый предел законов a(Xn). (4.91)

Теперь можно сформулировать основной результат, «обслуживающий» этап 11 характеризации слабых пределов S(Xn).

Теорема 4.23. Пусть S(Xn) слабо сходятся к некоторому вероятностному распределению Р. Пусть выполнены условия (?-S), (f-S), (o-S) для некоторого всюду плотного подмножества в R+, содержащегося в R+\{ty>0: P (AX4=^O) >0} и пусть также выполнены условия мажорируемости (4.90) и непрерывности (4.91).
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed