Время и современная физика - Зайцева Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Особенности проблемы хорошо иллюстрируются на примере Пуанкаре. Вы играете в карты с противником, про которого вы не знаете, шулер (Ш) он или честный партнер (Ч). При первой же раздаче карт к нему приходит король (К)—карта, которая выигрывает. Жульничает ли ваш партнер? Анализ, основанный на введении условных вероятностей, производится следующим образом:
В(К|Ш) =вероятности того, что короля выбросил шулер (эту вероятность Пуанкаре не совсем точно считает равной единице, что несколько упрощает вычисление, но не имеет принципиального значения).
В (К|Ч) = вероятности того, что короля получил честный игрок (по определению понятия честности
1 Волее подробное объяснение теоремы Байеса см. в предисловии к русскому изданию.— Прим. ред.
128
В(К|Ч) = ^ = -g-,так как среди 32 карт имеется 4 короля, а все карты предполагаются равновероятными). Нетрудно показать, что схема не является полной — не хватает параметра, например вероятности tu называемой априорной вероятностью того, что противник является шулером. Находим:
t2 = В (Ш| К) = вероятности того, что противник шулер, если известно, что он выиграл при первом бросании (вероятность a posteriori).
7 1+7*,
Как и следовало ожидать, ?2>^ (^Мь если ^1<1).
Другими словами, этот опыт не приводит к какому-либо вполне определенному результату; рн лишь изменяет наши представления о вероятности (?2^1).
Если вероятность tl уже сама по себе велика, то ?2 будет близка к и и игроку надо быть осторожным. Для <1 = 7г (Пуанкаре предложил это значение, чтобы сделать парадокс более ясным, ко нужно быть глупцом, чтобы сесть играть с противником, про которого считаешь, что с вероятностью 72 он является шулером) получим ^2 = 8/э, то есть почти достоверно, что мы имеем дело с жуликом.
В общем случае, когда число причин С\ и число событий Е$ конечны, ф.ормула Байеса записывается в виде
В(Еу|С/).В[(арг1ог1)С/]
в(Ц|?у) =
^B(Ef\Ct)-B(Cu
В(Ci\Ej) —вероятное™ a posteriori того, что событие
Cf вызвано причиной Ej. В (Ej\C{) = вероятности того, что причина С* вызвала событие Ej (механизм связи между ними может быть известным или не известным). Таким образом, восстановление прошедшего может производиться лишь в том случае, если известны априорные вероятности, то есть если уже предполагается ка-
кое-то знание о прошедшем, знание настоящего может его только уточнить.
Приведенная выше формула не симметрична по отношению к вероятности B(Ci\Ej) и вероятности B(Ej\Ci). Она станет симметричной лишь в том случае, если все вероятности a priori считать равными (мы только что видели на примере, насколько эта гипотеза может быть неразумной), и проблема восстановления прошлого становится полностью симметричной по отношению к проблеме предсказания («слепое» восстановление Вата-набе). Таким образом, наша проблема оказалась тесно связанной с неравенством коэффициентов Байеса, то есть наличием асимметрии между предсказанием B(Ej\Ci) и восстановлением прошлого B(Ci\Ej).
Но если эти коэффициенты оценивать независимо от внутренней динамики изучаемой системы, естественно, они будут характеризовать лишь способ взаимодействия системы с остальной частью Вселенной. Когда мы интересуемся будущим, этим взаимодействием практически можно пренебречь, но про него нельзя забывать, если мы хотим разобраться в причинах.
Статистическая механика и восстановление прошедшего
Теперь возникает вопрос, почему допустимо пренебрегать взаимодействием отдельной системы со всей остальной Сселенной, когда мы интересуемся будущим, и почему этого нельзя делать, когда мы изучаем прошедшее? (Именно это делает изучение столь трудным, так как невозможно получить достаточно точную и полную информацию обо всей Вселенной). Этими вопросами занимается эпистемология статистической механики.
Сейчас нам нет необходимости обращаться к детально разработанным представлениям, касающимся современных способов доказательства теоремы Больцмана в статистической механике (теоремы о возрастании энтропии); мы только усложнили бы изложение, не добавив ничего нового по существу.
Достаточно привести простой пример, снова* заимствованный у Пуанкаре. Пуанкаре рассматривает проблему квазиравномерного распределения малых планет по их общей траектории; для простоты, он принимает, что
130
эта траектория круговая, а малых планет бесконечно много и они не взаимодействуют между собой. Пусть а — средняя угловая скорость, b — начальное угловое положение малой планеты, f(a,b)—плотность распределения в соответствующей точке (а, Ь). Пуанкаре замечает, что, какой бы ни была непрерывная по отношению к а функция f (а, 6), выражение
00
М= j J eat + b f(a, b)dadb
— oo
стремится к нулю, когда возрастая, стремится к положительной бесконечности. Отсюда, например, следует, что, каким бы ни было начальное положение большой планеты, окончательное распределение малых планет будет приближаться к равномерному. Этот результат своей общностью явно удовлетворил Пуанкаре.
Но если t, убывая, стремится к отрицательной бесконечности, то M(i) также стремится к нулю. Можем ли мы отсюда заключить, что большая планета, наблюдаемая в данный момент времени, возникла в результате соединения в одно целое однородного роя малых планет? Очевидно, нет. Этот парадокс невозможно разрешить, если не ввести следующее правило: статистическая механика приспособлена для того, чтобы с ее помощью можно было предсказывать будущее, но ее нельзя непосредственно использовать для восстановления прошлого.
