Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.
Скачать (прямая ссылка):
б) Состояния систем S и В в начальный момент некоррелированны р(0) = ps(0) ® рв(0).
в) Состояния, определяемые Hs\j), не смешиваются с состояниями другого подпространства, ортогонального Жп и имеющего состояния г, то есть для всех j (i\Hs\j) = 0.
Подпространство с такими свойствами было названо свободным от декогерентизации подпространством Жп (decoherence-free subspace — DFS). Строгий анализ свойств DFS, однако, требует привлечения математического аппарата теории представлений групп. Его можно найти в работах [2.44, 2.46].
Остановимся здесь подробнее на важной модели сильной коллективной декогерентизации, когда все п кубитов в кластере взаимодействуют с одной и той же модой окружения Ва. Это взаимодействие описывается гамильтонианом Hsb в форме (2.71) [2.45]. Реально это может соответствовать, например, взаимодействию при достаточно низких температурах только с акустической ветвью длинноволновых бозонов.
По аналогии с одно- и двухкубитовыми логическими операциями над физическими кубитами, при универсальных вычислениях на состояниях DFS необходимы логические операции, которые производятся над логическими состояниями, закодированными в одном и двух кластерах. Для помехоустойчивости логической операции, выполняемой на состояниях DFS требуется, чтобы состояние системы оставалось в DFS в течение всего времени действия оператора.
Необходимым и достаточным условием для свободной от декогерентизации динамики в некотором подпространстве является принадлежность всех базисных состояний |j) к вырожденным собственным
102
Глава 2
состояниям всех генераторов ошибок Fa, то есть Fa\j) = 0,Va, j. Это
означает принадлежность их к одномерным неприводимым представлениям группы Паули относящейся к классу групп Ли SU(2). Иначе говоря, это синглетные базисные состояния с са = 0.
Наименьшее число физических кубитов п для кодирования двух логических состояний |0)ь и |1 )l в DFS равно четырем. Этими двумя состояниями являются состояния четырех кубитов с нулевым полным моментом:
= (1/12)1/2(2|1100) + 2|0011) - |0101) - |1010) - |0110 - |Ю01)),
которые соответствуют состояниям, построенным на синглетных и три-плетных состояниях пар физических кубитов.
Для таких состояний гильбертово пространство Жп оказывается защищенным от всех ошибок, определяемых коллективными операциями поворота спинов кластера. Однако оно остается еще незащищенным от ошибок, связанных с возмущениями состояний отдельных физических кубитов, при необходимости исправления которых следует использовать активные методы QECC.
В случае, когда принцип работы квантового компьютера основан на использовании взаимодействия между кубитами, описываемого гамильтонианом гайзенберговского типа (ниже будут рассмотрены такие примеры)
который коммутирует с Fa, на DFS достигается естественная помехоустойчивость в наиболее сильной форме, поскольку система никогда не покидает DFS во время выполнения логических операций.
В работе [2.46] были детально рассмотрены также способы формирования помехоустойчивых одно- и двухкубитовых логических операций, способы приготовления помехоустойчивых состояний и их измерения. Там же были рассмотрены случаи коллективной декогерентизации
|0>? = (1/2)(|01> - |10» <8> (|01> - |10» = = (1/2)(|0101> + |1010) - |1001) - |0110)),
(2.75)
|1 )ь = (1/3)1/2(|11) <8> |00) + |00) ® |11) -(1/2)(|01> + |10» ® (|01) + |10» =
(2.76)
(2.77)
2.3. Помехоустойчивость квантовых вычислительных процессов 103
с более общим гамильтонианом взаимодействия и с произвольным числом кубитов, относящихся к DFS.
В литературе активно обсуждаются и другие динамические подходы к проблемам подавления декогерентизации (например, [2.47, 2.48]), основные принципы которых мы обсудим ниже при рассмотрении ЯМР квантовых компьютеров.
2.3.3. Помехоустойчивые квантовые вентили с телепортацией квантовых состояний
Для обеспечения помехоустойчивости квантовых вычислений возможен и другой подход, при котором создаются такие операции на логических кубитах, когда распространение ошибок среди физических кубитов было бы ограничено настолько, чтобы можно было использовать соответствующие корректирующие коды. Этого можно добиться путем построения специальных перекрестных (transversal) вентилей, которые осуществляли бы взаимодействие кубитов одного кодируемого кластера только с соответствующими кубитами в другом кластере.
Квантовая телепортация (см. разд. 2.2.3), используемая в качестве некоторой базисной составляющей в квантовой схеме, открывает заманчивые возможности для решения этой и ряда других экспериментальных проблем, возникающих при реализации квантовых компьютеров, она позволяет осуществлять целый ряд квантовых логических операций, невозможных при использовании прямых унитарных операций [2.11, 2.12]. Формирование помехоустойчивых квантовых логических вентилей сводится в этом случае к приготовлению соответствующего вспомогательного запутанного состояния в схеме однокубитовой телепортации.
