Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Валиев К.А. -> "Квантовые компьютеры: надежды и реальность" -> 43

Квантовые компьютеры: надежды и реальность - Валиев К.А.

Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviekomputeri2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 132 >> Следующая


ф(х) = {* °^ж<1/2, (П30)

v ' ' 1 1/2 <; х < 0.

Из (П.28) мы видим, что при вейвлет-преобразовании Хаара происходит дискретизация преобразуемой непрерывной функции и расщепление на две части, относящиеся к подпространству более высокого уровня разрешения Vn+i.

Квантовое однокубитовое (L = 1, N = 2, т = 0,1, п = 0,-1) вейвлет-преобразование Хаара QWTHi осуществляется с помощью одного оператора Адамара Н, преобразующего исходные состояния кубита с амплитудами /i(m)

\Ф) = /о(0)|0) + /0(1)|1> = (П.31)

к состоянию, в котором два состояния кубита имеют амплиту-ды /_1 (0) и w-i(0):

QWTHi ¦ № = нщ = я (*(«) = т (*<;>! А<|>) = (п 32)

^i((°o))=/-i(0)|0)+w-i(0)|1)-

Для двухкубитового преобразования (L = 2, т mod 4 = 0,1,2,3, п = 0,-1,-2) потребуется более сложная квантовая схема. Двухку-битовые состояния |0л0#), |0л1#)5\^а^в) и \1а^в) будем использовать
Приложение П.2. Квантовое вейвлет-преобразование 113

в качестве базисных. Квантовая схема и матрица преобразования принимают вид [2.56]:

qwth2 =

(1 1 1 1 \

л/2 -у/2 О О

1 1-1-1

V 0 0 л/2 — л/2 У

(П.ЗЗ)

где

СН =

н

А о о о \ О лДТ2 о л/Щ 0 0 10 Vo 072 О -0727

(П.34)

— контролируемый оператор Адамара. Последовательность операций в квантовой схеме производится как обычно слева направо, а результирующая матрица умножается на преобразуемые состояния слева. Двух-кубитовая операция Хаара осуществляется тремя однокубитовыми операциями и одной двухкубитовой операцией, то есть всего четырьмя элементарными операциями.

Например, состояние

IV») = /™(0)|0л0> + /„(1)|01) + /„(2)110) + /„(3)|11)

преобразуется следующим образом:

(П.35)

QWTH2 -\ф) = ±

1

у/2

1

\0

1

-у/2

1

0

1

о

-1

72

1 \

0 -1

--Л)

/1/2(/„(0) + /„( 1) + /«(2) + /п(3))\ лД72(/„(о) - /„(1))

1/2(/и(0) + /„(1) — /и(2) — /и(3)) хД72(/п(2) - Ш) )

(Ш)\

/п(1)

/п(2)

V/»(3)/

IVn—l (0) fn-l(l)

\wn-l(l)/

(П.36)
114

Глава 2

то есть для двухкубитового регистра при заданном уровне разрешения мы получаем две вейвлет-амплитуды

ti>„_i(0) = x/V2(/n(0) - /и(1)), = \Д72(/„(2) - /„(3)).

(П.37)

Число элементарных квантовых операций, необходимых для реализации вейвлет-преобразования для всего диапазона уровней разрешения, определяется длиной используемых на операции расщепления фильтров S и числом кубитов L в квантовом регистре и оказывается порядка SL2 [2.30], тогда как быстрое классическое вейвлет-преобразование потребовало бы порядка L2l операций [2.59]. Если S', как в случае преобразования Хаара, порядка единицы, то квантовые вейвлет-преобразования имеют ту же сложность, что и квантовые фурье-преобразования. Однако преимущество квантовых вейвлет-преобразований появляется в случае, когда достаточно ограничиться определенным диапазоном разрешения \п\ « I, и потребуется всего \n\SL операций [2.60].

П.2.5. Квантовое вейвлет-преобразование как альтернатива фурье-преобразованию в алгоритме факторизации Шора

Алгоритм факторизации Шора основан на нахождении периода г определенным образом сформированных амплитуд состояния квантового регистра. Для этих целей используется квантовое дискретное фурье-преобразование, которое для регистра из L кубитов строится из L операторов Адамара Н и L(L — 1)/2 операторов контролируемого изменения фазы то есть требует L(L + 1)/2 элементарных операций (см. раздел 2.2.6).

Представим квазипериодическую дискретную функцию, характеризующуюся конечным числом равных по амплитуде отсчетов, отстоящих на расстояниях г друг от друга (х = j>), в виде:

f(x) = \frjN • 6xjr, j = 0,1,... [N/r — 1]. (П.38)

Амплитуда фурье-преобразования такой функции (2.55)

N/r-1 _ ...

f(k) = (Vi/N) ? ехр((П.39)

3=0
Приложение П.2. Квантовое вейвлет-преобразование 115

имеет конечное число равновероятных дискретных отсчетов на одномерной шкале при к = vN/r, v = 0,1,... , г — 1. Существенным недостатком дискретного фурье-преобразования, как уже отмечалось выше, является то, что при его выполнении имеют место значительные вычислительные затраты, особенно при учете амплитуд с большими значениями к, которые обычно по разным причинам не достаточно четко известны или имеют сильно отличающуюся временную цену, связанную с выполнением операций контролируемого изменения фазы. Если искомый период г значительно больше расстояния 2~ь между кубитами регистра, что соответствует сравнительно малым значениям параметра к, то вычислительные затраты, учитывающие при фурье-преобразовании в равной мере все амплитуды, оказываются излишне большими.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed