Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
3. Плотность термоэлектронного тока насыщения зависит от материала катода и увеличивается с повышением температуры последнего. При вычислении этой плотности будем пользоваться моделью идеального электронного газа и применим к нему статистику Ферми—Дирака. Число квантовых состояний в единице объема металла с импульсами электронов внутри элемента объема импульсного пространства dpxdpydpz с центром в точке (рх, ру, pz) будет
2
dZ = -jpdpxdpydps, где коэффициент 2 учитывает спин электрона.
Средняя концентрация электронов с такими импульсами определяется выражением
Уточним теперь понятие работы выхода, введенное выше. Условимся называть этой величиной работу Ь, которую должен совершить электрон, чтобы с уровня Ферми выйти наружу металла. Для этого минимальная кинетическая энергия электрона на уровне Ферми должна быть емин = [л. -f Ъ. Из металла могут выходить только такие электроны, кинетическая энергия которых на уровне Ферми пре-еосходит вмин, т. е. е >> [і -f b. Только они играют роль при вычислении тока насыщения. Поэтому при дальнейших расчетах можно ограничиться рассмотрением лишь таких электронов.
Чтобы при эмиссии электронов кристаллическая решетка не разрушалась, из металла должна выходить ничтожная часть электронов. Для этого, как показывает формула (101.1), должно выполняться условие е — [і kT, т. е. b kT. Для таких электронов в знаменателе формулы (101.1) единицей можно пренебречь. Тогда формула (101.1) переходит в
2 dpx dpy (1рг
(101.1)
dn =(?-exp {jf})exp {~^f} dpxdpudpz. (101.2)
462
ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ВАКУУМЕ [ГЛ. VII
Найдем долю электронов dnz, 2-составляющая импульса которых заключена между рг и рг + dpz. Для этого предыдущее выражение надо проинтегрировать по рх и ру в пределах от — оо до + оо.
Так как є = ^ (РІ + РІ + РІ), то в результате такого интегрирования получим
dnz = ~ nmkT exp {- Рг/(2^ ~''j dpz. (101.3)
Уход из металла электронов при термоэлектронной эмиссии, конечно, несколько нарушает равновесное распределение их по скоростям. Однако в нулевом приближении этим обстоятельством можно пренебречь, что и делается в дальнейшем. Число электронов рассматриваемой группы, падающих в единицу времени на единицу
площади поверхности металла, определяется интегралом ^ vzdnz~ = ~ \ Pzdnz, где интегрирование ведется по всем электронам, для
т J
которых pH(2т) Ss |х + Ь. Примем, что все эти электроны уходят из металла. Тогда плотность термоэлектронного тока насыщения js найдется умножением предыдущего интеграла на заряд электрона е. Введем новую переменную интегрирования
х = рЦ(2т) — (х.
Тогда
ОО
is = A-^(kTf J er*dx. (101.4)
Ь/ikT)
В результате получим
js = AT4~b^T\ (101.5)
где постоянная А определяется выражением
те
Ifl
л = 4гоя^=і2о А/(см2-К), (Ю1.6)
т. е. одинакова для всех металлов. Такая одинаковость связана с использованием модели идеального электронного газа, положенной в основу расчета. В этой модели индивидуальные свойства металла характеризуются двумя параметрами: работой выхода электрона b и энергией Ферми jx. Однако последняя входит в формулу (101.4) только в качестве слагаемого переменной интегрирования х, так что результат не зависит от (х, а определяется только работой выхода b и температурой металла Т.
Измеряя плотность термоэлектронного тока js, можно по формуле
(101.5) вычислить как постоянную А, так и работу выхода Ь.
§ ЮН
ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ
463
4. Формула (101.5) была впервые получена Ричардсоном (1879 — 1959) на основе термодинамических соображений с использованием некоторых эмпирических данных. Другой вывод, в котором была установлена универсальность коэффициента А, был дан Дешманом в 1923 г. Поэтому формула получила название формулы Ричардсона — Дешмана. Дешман в своем выводе еще не мог учитывать электронного спина. По этой причине значение универсального коэффициента А у него было вдвое меньше, так как учет спина удваивает число возможных квантовых состояний электрона. Результат Дешмана с точностью до нескольких процентов был подтвержден при экспериментальной проверке формулы (101.5) на особенно подходящих для этой цели тугоплавких металлах — вольфраме и молибдене. Любопытно, что учет электронного спина значительно ухудшал согласие теории с опытом. Этот результат можно объяснить уже в рамках модели идеального электронного газа при более последовательном квантовомеханическом рассмотрении. Дело в том, что по квантовой механике электроны, удовлетворяющие условию є > (.і + b, не обязательно уходят из металла. Часть из них может отразиться обратно в металл от «потенциального барьера» на границе металла, который они должны преодолеть, чтобы выйти в вакуум. Однако мы не можем здесь входить в эти детали.
5. Заметим, что Ричардсон еще в 1901 г. получил другую формулу для плотности термоэлектронного тока насыщения. Он применил к электронному газу е металле классическую статистику Больцмана. Результат Ричардсона можно получить из наших формул, не производя новых вычислений. Надо только формулу (101.3) заменить соответствующим выражением из закона распределения скоростей Максвелла (см. т. II, § 72):
