Общий курс физики Том 3. Электричество - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
J (l+w)e'/2dE=^^ $ (l-*)(l+f*)d*=2№/.
В результате получится
1 кТ\ з (A J *
Совершенно так же находим
g = -5-nZMeKC(l+-|^). (99.11)
Средняя энергия, приходящаяся на один электрон,
» = | = |м(‘+2^), (99.12)
а теплоемкость
^ = 1 = ?ї7’- <"-13>
Поскольку для всех металлов вплоть до температуры плавления kT/[i 1, для теплоемкости получается величина, малая по сравнению с k. Тем самым устраняются трудности, на которые натолкнулась классическая теория в вопросе о теплоемкости электронов в металлах.
5. Применим теперь теорию Зоммерфельда к выводу закона
Видемана и Франца. Для этого воспользуемся формулой (42.24)
и учтем, что перенос тепла в металлах осуществляется только электронами вблизи границы Ферми, средняя кинетическая энергия которых 11гти1 = (г. Подставив (99.13) в (42.26), получим
ї='ШЇТ- (99'14)
Численный коэффициент 16/5 = 3,2 практически не отличается от коэффициента 1/3 я2 = 3,29, полученного Зоммерфельдом при строгих расчетах, а также от коэффициента 3, полученного в элементарной классической теории. Друде. Однако классическая теория, приводя к практически правильному конечному результату (42.27), давала этому результату совершенно неправильное объяснение.
448
ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ВАКУУМЕ [ГЛ. VII
По этой теории пропорциональность между %/к и Т объяснялась тем, что средняя кинетическая энергия электрона равна 3j2kT, т. е. пропорциональна абсолютной температуре. На самом деле закон Видемана и Франца (99.14) объясняется тем, что абсолютной температуре пропорциональна не средняя энергия, а теплоемкость электрона. Классическая теория допускала ошибку, завышая теплоемкость электронного газа. Однако эта ошибка случайно компенсировалась другой ошибкой. Скорость электронов, переносящих тепло, определяется их кинетической энергией вблизи границы Ферми, тогда как классическая теория считала, что эта скорость порядка классической средней скорости теплового движения У kT/m. Тем самым скорость электронов, переносящих тепло, сильно занижалась, а конечный результат (42.27) получался правильным.
6. Несмотря на успехи, теория Зоммерфельда обладает и существенными недостатками. В этой теории взаимодействие электронов с ионами кристаллической решетки, как и в классической теории, учитывается посредством формально введенной длины свободного пробега электрона I. Каково происхождение длины I, как она зависит от температуры Т — на эти вопросы теория Зоммерфельда не дает никакого ответа. Классическая теория (без достаточных на то оснований) считала, что процесс столкновения электронов с ионами решетки аналогичен столкновению твердых шариков. В такой модели I не зависит от температуры. Поэтому по формуле (42.25) следовало бы ожидать, что к ~ ЦТ. Если и в теории Зоммерфельда принять, что I не зависит от Т, то к также не должна была бы зависеть от Т. На самом деле оба эти результата не согласуются с опытом. Для большинства чистых металлов при не очень низких температурах к приблизительно обратно пропорциональна Т: к ~ 1 !Т.
Для решения вопроса надо рассмотреть на основе уравнений квантовой механики движение электрона с учетом его взаимодействия с кристаллической решеткой. Качественно основной результат можно понять без вычислений. Согласно квантовой механике движение электрона аналогично распространению какой-то волны в пространстве. В идеально прозрачной и однородной среде, например, световая волна распространяется без всякого ослабления и рассеяния в стороны. Так же вела бы себя и «электронная волна», если бы кристаллическая решетка, в которой она распространяется, была идеально правильной. В этом случае металл не оказывал бы электрическому току никакого сопротивления. На самом деле в реальной решетке всегда есть примеси и возникают тепловые флуктуации, нарушающие ее идеальную структуру. Благодаря этому электронная водна проходит через кристаллическую решетку не только в прямом направлении, но и рассеивается в стороны подобно тому, как рассеивается световой луч при распространении в мутной
СТАТИСТИКА ФЕРМИ—ДИРАКА В МЕТАЛЛАХ
449
среде. Ослабление интенсивности волны происходит по экспоненциальному закону, т. е. сч5 ехр(—хИ), где I — постоянная, которая и играет роль длины свободного пробега электрона (см. т. II, § 88). Для полной длины свободного пробега электрона I можно написать
у =Г- + 7~ (99Л5)
^ ^фл мір
где первый член справа обусловлен тепловыми флуктуациями, а второй — примесями. Величина /г1р от температуры не зависит, а для /фл при обычных температурах расчет дает /фл с\э Г-1. В соответствии с этим и с формулой (42.25) получаем для удельного сопротивления
р^1 = аГ + р0, (99.16)
где а и ро — постоянные. Для чистых металлов р0 = О, р sv> Т. При низких температурах (которые, однако, выше критической температуры перехода в сверхпроводящее состояние) теория для чистых металлов дает р с\з Тъ. Эти выводы теории согласуются с опытом.
7. В заключение рассмотрим парамагнетизм газа свободных электронов (см. § 77, пункт 9), теория которого была дана Паули. Будем предполагать, что электронный газ полностью вырожден. При помещении в магнитное поле спин электрона может ориентироваться либо по, либо против поля. Этим ориентациям соответствуют два значения полной энергии электрона: е — ЭЛЯ и є + + WIH, где SOI = ehl{Anrnc) — магнетон Бора, а є по-прежнему означает кинетическую энергию электрона. Первая ориентация является более предпочтительной, поскольку ей соответствует меньшее значение полной энергии. Весь электронный газ можно рассматривать как два независимых газа, отличающиеся друг от друга ориентациями спинов электронов. В распределении Ферми вместо кинетической энергии е надо взять полную энергию є гр ЭЛЯ. От этого аргумент е — [х заменится на є — (ц гр ЭЛЯ). Отсюда видно, что влияние магнитного поля сводится к смещению границы Ферми. Для газа с параллельной ориентацией спинов граница Ферми р-1 = |а + 50ЇЯ, а с антипараллельной = ц — ЭЛЯ. Далее, при рассмотрении каждого газа число состояний в формуле (99.2) надо уменьшить вдвое, т. е. вместо Z взять ZI2, поскольку в каждом газе осуществляется лишь одна из ориентаций спина. С учетом всего этого для избытка концентрации одного газа над другим можно написать
