Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть х, у, г-декартовы координаты в евклидовом пространстве Е3.
Рассмотрим матрицу
А-( I *"'4 (19.7.1,
\x + ty -г }' к
которая является эрмитовой матрицей и имеет след, равный нулю. (След
матрицы есть сумма ее собственных значений и равен сумме ее диагональных
элементов.) Пусть U-любая унитарная матрица размера 2x2 с детерминантом,
равным 1 [т. е. (/^S(/(2)], а
A' = UAU*. (19.7.2)
Поскольку собственные значения матрицы А' совпадают с собственными
значениями матрицы А, след матрицы А' также равен нулю; А' тоже эрмитова
матрица (Л'*=Л'), и ее можно записать в виде
/ г' х' - iy'\
A'-{*' + V -г' } (19'7'3>
где х', у', г' - вещественные числа. Кроме того, det Л'=det А, что
следует из (19.7.2), и, значит,
x> + y* + z*'=x'2 + y'2+z'2. (19.7.4)
Очевидно, что связь между х, у, г и х', у', г' линейна при заданной
матрице U\ следовательно, если мы определим вещественную мат-
19.7. Гомоморфизм группы SU(2) на группу S0(3)
49
рицу R=R(U) размера 3X3 посредством
то R - ортогональная матрица.
Общее замечание об ортогональных унитарных и лоренцевых преобразованиях.
Допустим, что однородное линейное преобразование х -* х' в вещественном
n-мерном пространстве таково, что оно оставляет инвариантной квадратичную
форму х х = х,2-)-...
...xl, т. е. хх = х'х' для всех х. Тогда инвариантной является и
билинейная форма х-у для любых х, у, так как
х-у = 74 (х + уМх -f у)-V4 (х-у)(х-у).
Иначе говоря, если сохраняются все длины, то сохраняются и все углы.
Аналогично, если (• , •) обозначает эрмитово симметрическое (т. е.
полубилинейное) скалярное произведение в комплексном n-мерном
пространстве, то (х, у) является инвариантным для любых х, у в том и
только том случае, когда (х, х) инвариантно для всех х. Таким образом,
ортогональную и унитарную группы можно характеризовать инвариантностью
либо квадратичной, либо соответствующей билинейной формы.
Упражнение
Сформулируйте аналогичный результат для группы Лоренца.
Детерминант матрицы R равен 1 по непрерывности, поскольку единственно
возможными значениями det /? являются ±1, det R непрерывно зависит от U и
SU (2)-связная группа. [Если U- единичная матрица размера 2x2, то R(U)
есть единичная матрица размера 3x3 с детерминантом, равным 1.]
Произведение RiUJRiUz) равно потому что R (U^R (U2) представ-
ляет собой результат последовательного преобразования А сначала в UtAU\,
а затем в UlU ^АИ\И\. Следовательно, отображение
Ф: U - R(U)
есть гомоморфизм. Мы утверждаем без доказательства, что это - отображение
на всю группу 50 (3)*)•
Легко видеть, что ядром этого гомоморфизма будет {/, -/}, и поэтому с
каждым /? ? 50 (3) связаны два элемента и и -U группы SU(2). В § 19.9
будет доказано, что группа 50(3) является простой и, значит, никакие
другие нетривиальные гомоморфизмы группы 50 (3) невозможны.
1) То есть каждый элемент из SO (3) является образом хотя бы одного
элемента из SU (2).- Прим. перев.
50
Гл. 19. Непрерывные группы
19.8. ГОМОМОРФИЗМ ГРУППЫ SL (2, С)
НА СОБСТВЕННУЮ ГРУППУ ЛОРЕНЦА Хр
Гомоморфизм, полученный в предыдущем параграфе, весьма легко расширяется.
Пусть х, у, z, t - координаты в пространстве времени (при этом система
единиц выбрана так, чтобы с=1). Тогда матрица
эрмитова и det A = t2-х2-у2-г2. Если Р - произвольная (комплексная)
матрица размера 2x2 с детерминантом, равным 1, то матрица А' = РАР* также
эрмитова и, значит, может быть записана в виде
Иначе говоря, матрица Р из SL(2, С) индуцирует некоторое преобразование
Лоренца Т. Ясно, что отображение Р-> Т обладает свойством гомоморфизма,
именно если -> Tt и Pt -> Та, то Р\Рг-*ТтТг. Фактически это (2 -> 1)-
гомоморфизм группы SL (2, С) на группу. S?р, т. е. гомоморфизм,
отображающий два элемента SL(2, С) в один элемент 2?р.
19.9. ПРОСТОТА ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И ГРУППЫ ЛОРЕНЦА
Теорема. Группа вращений SO (3) является простой.
Доказательство. Допустим, что G0-нетривиальная нормальная подгруппа:
G0<jSO(3). Нужно доказать, что G0 = SO(3). Пусть R0?G0, причем R0 ф I. В
§ 19.2 было доказано, что для любого R из SO (3) преобразование х->• Rx
можно описать как вращение на некоторый угол 0 вокруг некоторой
фиксированной оси. Обозначим через 0 вектор, взятый в положительном
направлении этой оси и имеющий длину |0(| = 0, и выразим R в виде R= R
(0), как в § 19.6. Тогда До = Д(0о) для некоторого вектора 0О Ф 0.
Предположим теперь, что 0]-любой другой вектор с той же длиной, что и 0О
(|| 0Х || = || 0О I), a Ri вращение, переводящее 0Х в 0О. Тогда RT'R (0О)
R\ принадлежит подгруппе G", поскольку она нормальна; но (0О) Ri = R
(0i), и, следовательно, подгруппа G0 содержит любой элемент R (Q) с ||0|
= ||0О |. Далее, G0 также содержит каждый элемент R (0) R (0О) для ||0! =
|| 0О он является элементом R (Q1) для некоторого 0'=0'(0, 0О). Очевидно,
что Л(c)' II - непрерывная функция компонент вектора 0. [Напомним, что
явное выражение R (0) через компоненты 0*, 0у, 0г приведено в § 19.6.]
Для 0= - 0и и 9 = + 0о длина || 0' || равна 0 и 2||0О(| соответственно.
