Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
будут найдены, являются конечномерными. Как будет показано в следующей
главе, это справедливо для любой компактной группы. В той же главе для
компактных групп будет получен ответ на вопрос о том, можно ли таким
образом найти все неприводимые представления.
Теория представлений некомпактных групп, где могут появиться
бесконечномерные неприводимые представления, в значительной степени
выходит за рамки настоящей книги, и в следующей главе
а b е
20.9. Представления группы вращений SO (3)
63
мы удовлетворимся обсуждением лишь некоторых основных свойств трех
примеров: группы движений Ма, где возникают функции Бесселя, группы
Лоренца и группы SL(2, С), где появляются спиноры.
20.8. РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Для групп Ли однородным пространством может служить само многообразие
группы. Рассмотрим, например, группу G = SO(3). Вспомним, что
многообразием группы 50(3) является некоторая алгебраическая трехмерная
поверхность 5 в пространстве девяти вещественных измерений; каждая точка
5 представляет некоторый элемент g из G. Для фиксированного h из G левая
трансляция g-*hg отображает 5 на себя. Пусть Х°°- пространство всех
функций /(g) класса 0°° на 5 или гильбертово пространство /A(S). Для
любого h?G отображение
Р(Л): /(g) - fih-'g)
есть линейное преобразование в Х", а соответствие h -"¦ р (h) является
представлением группы G. Аналогично связь отображения f {g) f (gh) с
элементом h также дает представление группы G (отметим, что в отображение
входит сам элемент h, а не его обратный). Представления этого типа,
называемые левым и правым регулярными представлениями, обсуждаются в
следующей главе.
Упражнение
Покажите, что множество левых трансляций эффективно и транзитивно по
отношению к многообразию группы.
20.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИИ 50(3)
Методы, описанные в общих чертах в § 20.6 и 20.7, мы применим здесь к
группе вращений. Наш подход несколько отличается от традиционного в том,
что мы заранее не предполагаем ничего о сферических гармонических
функциях Yf (0, ср) и получаем эти функции и их свойства из теории групп.
Пусть ga = gax, ау, а2-матрица вращения на угол || а" || вокруг оси,
направленной по вектору ю. Иначе говоря, gw =/?((c)), где /?(•) определена
при помощи (19.6.1). Пусть Х°° - пространство всех бесконечно
дифференцируемых функций / (х) в R3. Для каждой матрицы g = ga оператор
p(g) на X00 определен [согласно
(20.6.1)] равенством
(p(g)/)(*) = /(g-1*)- (20.9.1)
Эти операторы p(g) составляют представление группы 50(3).
64
Г л. 20. Представления групп I
Инфинитезимальные операторы этого представления получаютс следующим
образом. В силу дифференцируемости функций из X при а" -> 0 оператор
(l/<o)[p(gc>, 0. о) Р (go, 0. о)]
на Х°° имеет предел, скажем Lt. [Напомним, что р (g0, о, о)-тож
дественный оператор / - /на Х°°.] Любое конечномерное под пространство X,
пространства Х°°, инвариантное относитель" всех р (g), также инвариантно
и относительно (т. е. под дей ствием оператора это подпространство
преобразуется на себя) Если g = ga, о." и f(x) = f(x, У, г), то
/ (^~1х) = / (х, у cos а" -(- г sin а", - у sin щ + г cos <о),
и из этого следует, что
def
= dP (go, 0. 0)/d(0 |ю=о ¦" гд/ду-уд/дг, (20.9.2)
Аналогично,
def
^2 = dp (go, (0, о)/da> \а=о**хд/дг-гд/дх, g
L3 = dp (go, о. "o)/d(o U=o - уд/дх-хд/ду.
Это (с точностью до множителя ih) квантовомеханические операторы
компонент момента импульса (см. книгу Шиффа [1955, гл. IV]. Они
удовлетворяют соотношениям коммутации
[L,-, L,] = Lft (i / ? = 1 2 3, 2 31, 3 1 2). (20.9.4)
Замечание. Инфинитезимальные операторы любого представления группы 50(3)
удовлетворяют этим соотношениям, потому что сами инфинитезимальные
элементы группы удовлетворяют им; а именно если
Тi = dga>i, юг, ajdto); |ю=о 0 = 1 > 2, 3),
то в соответствии с (19.9.1)
/О 0 0\ / 0 0 1\ /0 -1 0\
7'i = ( 0 0 -1 , r2= ООО, Т3= 1 00;
\0 1 О/ V -1 0 0/ \0 О О/
следовательно, lTh Tj] = Th, где i j k=1 2 3, 2 3 1, 3 1 2. Так как в
представлении g-."-p(g) произведения отображаются на произведения,
соотношения (20.9.4) имеют силу для любого представления.
Допустим теперь, что 5 - единичная сфера x2+t/2+z2= 1 (однородное
пространство для группы вращений) и что Х°° (S) - пространство всех
функций из класса С°° на 5.
20.9. Представления группы вращений S0(3)
65
Начиная с операторов Lt можно получить инвариантные подпространства,
используя так называемые операторы поднятия и опускания, введенные
Дираком [1958, гл. 6] для квантования гармонического осциллятора и
момента импульса. (См. также книгу Миллера [1973].) В сферических
координатах L, = sin ф3/30 + ctg 0 cos фЗ/Зф,
L2 = - cos ф3/30 -+¦ ctg 0 sin фд/дф, (20.9.5)
L3 = - 3/3 ф.
Определяя операторы L* как Lf ± (L2, имеем
L± = 1(р (Т 73/30 -+¦ ctg 03/3ф) (20.9.6)
и видим, что
[L+, L~] = - 2iLs = 2id/d<p. (20.9.7)
Допустим, что f(Q, ф)-некоторая функция из пространства Х°° (S), не
обращающаяся тождественно в нуль. Мы хотим найти минимальное инвариантное
