Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
к
2 ф-<**).
k=\
где hk и ah - константы. Взяв эту сумму в качестве суммы Ри-мана, которая
аппроксимирует некий интеграл, и затем переходя к пределу, мы видим, что
X' содержит любую функцию вида
J й(а)/(ф - a) da,
а значит, в частности, и функцию
Л
_L ^ eimaf^ - a)da=cmetmч*.
-Л
Таким образом, X' содержит Х_т, если стФ-0, что и требовалось доказать.
(Поскольку предполагалось, что X' конечномерно, теперь ясно, что ст
отличны от нуля лишь для конечного числа т.)
Для неабелевых групп размерность минимальных инвариантных подпространств
может быть, вообще говоря, больше единицы.
20.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП МАТРИЦ НА Х°°
Идеи предыдущего параграфа можно обобщить. Если G - группа матриц размера
пхп, то ее элементы g определяют линейные преобразования в /г-мерном
пространстве Vп (совпадающем с R" или с О). Допустим, что Х°° обозначает
пространство всех бесконечно дифференцируемых функций /(х), заданных на
V" или на любой поверхности в Vn, которая инвариантна относительно G, и
поставим в соответствие каждому элементу g из G линейное преобразование
Р (ёГ): / (х) -- /' (х) = / (йГ_1х) (20.6.1)
пространства X~ на себя (здесь штрих не обозначает дифференцирование).
Если за преобразованием p(gr) = p(^i) следует новое
20.7. Однородные пространства
61
преобразование p(g2), а именно
P(g.): /'(*)-/'(*)=/'(ft-1*), то результатом будет преобразование
Р (g.) Р (gi)- f (х) - /" (х) = /' (g^x) =/ (gr1 (g2_1x)) = / ((g2g,)_1
x). так что
P(ga)p(g1) = P(g2gi)- (20.6.2)
Следовательно, соответствие g->-p(g) есть представление группы G на
пространстве X".
Замечание. Появление в (20.6.1) g-1 (а не самого элемента g) необходимо
для того, чтобы в (20.6.2) получить правильный порядок множителей.
Поэтому же в (20.5.1) стоит знак минус, но, поскольку для абелевой группы
указанный порядок не существен, в (20.5.1) равно допустимо и / (ф + а).
Замена функции /(х) на /(g_1x) эквивалентна осуществлению отображения х -
> gx в Vn и переносу значений функции / по ходу данного отображения в
точности так, как подстановка f(t)-> -> f (t-а) переносит значения / на R
(вправо при а > 0) на расстояние а.
Если G - непрерывная группа и элементы группы зависят от параметров а, р,
... , т. е. g = g", р,..., где g0, о. ..-единичный элемент группы G, то
инфинитезимальные операторы, соответствующие оператору Т предыдущего
параграфа, получаются дифференцированием p(ga, р,...) по каждому из
параметров а, р, ... и затем приравниванием а = (3=...=0. Для группы SO
(3) эти инфинитезимальные операторы будут приведены в § 20.9.
20.7. ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если пространство Vn содержит некоторую гладкую поверхность S меньшей
размерности, инвариантную относительно всех преобразований группы G,
подобно единичной окружности в случае группы 50(2), то вместо X" можно
рассматривать пространство функций, определенных на 5, а не на всем V'1.
В упомянутом выше примере в качестве S можно было взять любую окружность
с центром в начале координат. Если G совпадает с SO (3), то в качестве S
можно взять любую сферу в У3 с центром в начале координат. В каждом из
этих случаев действие группы на S обладает следующими свойствами.
а) Действие группы G аффективно по отношению к S; это означает, что
лишь единица е группы G дает тождественное отображение на S; иначе
говоря, если g=+e, то существует хотя бы одна точка х на S, такая, что
gx=+x.
62
Гл. 20. Представления групп /
б) Действие группы G транзитивно по отношению к S; это означает, что
если х и у - две произвольные точки на S, то существует такой элемент g
из G, который переводит х в у, т. е. у =gx.
Если .S инвариантна относительно группы G и, кроме того, имеют место
свойства а) и б), то S называется однородным пространством для G.
Допустим, например, что G состоит из всех преобразований вещественного
трехмерного пространства, имеющих следующий вид:
где ad - Ьсф0. Любая плоскость x3=const инвариантна относительно G, и для
нее имеет место свойство б), но для плоскости л:3=0 свойство а) не имеет
места, потому что любая точка плоскости х8=0 отображается на себя при
преобразованиях вида
Следовательно, только плоскости xs = const Ф0 представляют собой
однородные пространства для данной группы.
Общая процедура отыскания неприводимых представлений непрерывной группы G
линейных преобразований в Vn состоит из следующих шагов: находится
однородное пространство S для G в пространстве Vn¦ вводится р как
представление /(х)->f(g~lx) группы G на пространстве Х°° функций на S
[обычно это L2(S)]; определяется полная система инфинитезимальных
операторов; при помощи этих инфинитезимальных операторов находятся
минимальные инвариантные подпространства пространства Х°°. Специальные
функции, связанные со свойствами симметрии, описываемыми группой G,
являются элементами инвариантных подпространств пространства Х°°.
Данная процедура будет более подробно описана в § 20.9 для группы
вращений SO(3). В этом случае все инвариантные подпространства, которые
