Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
О
Рис. 1.2.
Указанных двух условий достаточно для того, чтобы определить одну постоянную интегрирования и ускорение а, которое заранее не известно. Результат будет следующим:
R2 rgR2 ( 1 1
a = gТТ.---ГГ, sх =—;—- h)\---—-
h(h + l) X h V x h + l
Легко видеть, что наибольшее растягивающее напряжение достигается в точке x = x * = .,Jh(h + l). Таким образом, это не есть в
точности середина стержня, а среднегеометрическое от координат его концов.
В дальнейшем нас будут интересовать только деформации самого тела, возникающие под действием приливных сил, поэтому перенесем начало координат из центра М в точку
* * гг-1
x = x , т. е. положим у = х - х . Тогда уравнение (3) можно записать в виде
-2
- 1
ду
Pg
(х *)2
(4)
Во всех реальных ситуациях размеры тела много меньше расстояния от тела до массы, вызывающей прилив, значит, можно принять, что l << h, и значит, у/х * << 1.
Приведем для удобства в качестве справки известные формулы, которые будут использоваться в дальнейшем. Если величина е << 1, то с точностью до e можно принять, что
1
= 1 - е;
л/1 + е = 1 + 2; 31 + е = 1 + 3;
1
e
л/1 + е
= 1 --
1
2 ’ (1 + е)2
1 + е = 1 - 2е.
На основе последней формулы правую часть (4) можно предста-
( У ^ 2 У
вить в следующем виде: \ 1 + — I - 1 = -2—.
V х 0 х
x
Отсюда
ds
ду
R2
(5)
+ Г1 ¦ у = а Г1 = 2pg 0 —гг
(x )
Легко также заметить, что при l/h << 1
(6)
Таким образом, в данном случае среднегеометрическое от координат концов стержня практически совпадает со среднеарифметическим. Поэтому наибольшее растяжение достигается в середине стержня.
Итак, уравнение движения (3) превратилось в обычное статическое уравнение (5). Это уравнение показывает, что приливные силы сводятся к обычным массовым силам, интенсивность которых пропорциональна расстоянию до центра тела. Эти силы направлены от центра, т. е. они стремятся разорвать (растянуть) стержень. Сумма их равна нулю. Следовательно, приливные силы представляют собой самоуравновешенную систему. Они деформируют тело, но не сообщают ему никакого ускорения как целому.
В подавляющем большинстве интересующих нас случаев взаимодействующие массы, конечно, не падают свободно, а вращаются вокруг общего центра масс. Нетрудно понять, что и при этом протяженное тело при своем обращении по орбите будет испытывать действие приливных сил.
3. Трехмерное тело. Статика. Теперь все готово для того, чтобы рассмотреть ситуацию, когда приливному возмущению подвергается реальное трехмерное тело. Здесь обнаруживается качественно новый эффект. Оказывается, приливные силы не только растягивают тело в направлении возмущающей массы, но и сжимают его в ортогональном направлении. Неожиданным является то обстоятельство, что это сжатие того же порядка, что и растяжение (оно всего в 2 раза меньше). Наиболее просто это можно показать, если воспользоваться следующим приемом [142]. Заменим действие одной возмущающей массы М двумя массами М/2, расположенными на том же расстоянии, что и М, но симметрично относительно заданного тела (рис. 1.3). Можно предположить, что все три тела неподвижно закреплены в пространстве. Это позволяет ограничиться чисто статическим анализом (все силы инерции здесь отсутствуют).
Введем систему координат 0xyz, как показано на рис. 1.3. Выделим элементарный объем Av с координатами x, у, z- Вычислим коор-
динаты силы, с которой этот объем притягивается к массе, расположенной в точке x = +L. Пусть x, у, z << L. Тогда можно принять, что
r2 = L21 1 + 2- I, r = LI 1 --I, = ^d1 + 2-
L
1
1
sina =
Отсюда сила притяжения равна
I—I M ¦ Am
|F 1“ у
M¦Am I x
у----— I 1 + —
2L
компоненты этой силы равны
Fx = | F '| cospcosa = у MAm [ 1 + 2 j
Fy =-|F j cospsina = - у M^ У, i—i MAm
f2=-|f 1sinp = - у~2^г z.
(7)
Теперь рассмотрим притяжение массы, расположенной слева. Для вычисления можно воспользоваться уже полученными формулами, заменив в них х на (-х). В результате получим
MAm ( x | MAm MAm
Fx = -7Т7Г I1 - 2^ Fy = -y, Fz = -у^ТГz. (8)
2L2
2L3
2L3
L
r
у
L
Складывая (7) и (8) получим результирующую силу, действующую на элемент т:
F = F' + F",
МАт МАт МАт (9)
Fx = 24~Lf~x’ Fy = -1~LTУ’ f =-1~LFг.
