Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
dx3 ds 23
0У1
dt
dv 1 dx 1
0У1
dx 2
dx2
0У1 '' dx 3 J
dv2 dv2 dv2 dv2
+ F2 = p I — + v i — + v 2------------------------------+ v 3-----------
dx 3 2 у dt 1 dx 1 2 dx 2 3 dx 3
(1)
dx
ds23 , ds 33 , r +-------+--------+ F3 = p
dx2
ekm
dx3
Sij = Fij [
dv3 dv3 dv3 dv3
— + v 1-----+ v 2---+ v 3----
1 dx 1 2 3
dt
ij [ekm, ekm, x 1,x2, x3
];
1
2
duk
duk
dxm
dum
dx.
ekm
2 I dxm
dx2
dx,
dx3
(2)
(3)
vk =---------, i, j, k, m,= 1, 2, 3,
dt
где xi, t — декартовы координаты и время; sij, ekm, uk, ekm,vk — компоненты напряжений, деформаций, перемещений и их скоростей; p — плотность; Fi — компоненты объемной силы. Определяющие уравнения записаны символически через функционалы Фу. Для неоднородной, в частности для слоистой среды, функционалы будут явно зависеть от координат. В случае необходимости выражения (3) для компонент деформации можно заменить на соответствующие нелинейные соотношения. Точно так же в список неизвестных можно включить плотность среды и добавить для ее определения соответствующее уравнение состояния.
1
+
+
Задача будет корректной, если к уравнениям (1)-(3) добавить начальные и краевые условия. Как отмечалось, вопрос о начальных условиях для небесного тела весьма проблематичен. По-видимому, нет смысла рассматривать всю историю формирования небесного тела только ради решения проблемы начальных условий. Взамен последних можно поставить некоторые условия, которые обеспечивали бы стационарность процесса деформирования либо его определенную периодичность во времени. Для корректности задачи подобные условия вполне могут заменить начальные. Если же такой подход становится недостаточным, например, в случаях, когда необходимо рассматривать эволюцию тела (в частности, вековое замедление планеты вследствие приливного трения), то в качестве начального можно взять любое мгновенное состояние тела, о котором есть достаточные данные относительно распределения скоростей, перемещений и других необходимых переменных.
Перейдем теперь к краевым условиям. В общем случае краевые условия должны ставиться на поверхности тела после деформации. Например, в случае свободной поверхности должны выполняться условия
Sn(х 1,х2,х3, t) = 0, (х 1,х2,хз) е Su(t), (4)
где sn — напряжение на поверхности Su. Индекс и указывает на то, что конфигурация поверхности берется после того, как реализовались смещения u(t), т. е. Su — это актуальная конфигурация небесного тела.
Итак, задача свелась к моделированию процесса деформирования, который описывается системой уравнений (1)-(3). Для частных видов определяющих уравнений можно попытаться отыскать физические процессы, которые будут описываться теми же самыми уравнениями (т. е. можно поставить задачу поиска аналогий). Это направление исследований в настоящей работе не рассматривается. Ниже ограничимся моделированием, основанным только на физических процессах, происходящих и в естественных условиях. В этом случае проблема моделирования фактически сводится только к изменениям характерных масштабов тела, изменениям условий нагружения и параметров деформируемой среды.
Обозначим через W > 0 скорость вращения небесного тела относительно возмущающей массы, через R — средний радиус тела. Примем величины W-1 и R за масштабы времени и длины. Тогда масштаб напряжений будет равен pW2 R2, а объемных сил — pRW2.
В безразмерных переменных, которые отметим чертой наверху, имеем систему (1)-(3) в следующем виде:
Эстц 9^12 5^13 F1 8v1 _ 8V1 _ 8V1 _ Cv 1
—Z----1---Z--------1-Z-------1-2 = —~ + v 1 —---+ v 9 ~----+ v 3
сх 1 сх 2 9х 3 pRW2 9t 9х 1 2 9х 2 3 9х 3
sij = pw2r2 [Wekm, ekm, Rх 1,...]
- — _ _ CUk
ekm ekm; ekm Wekm; vk RWvk, vk qJ •
(5)
Будем отмечать индексом М переменные, относящиеся к модели. Для переменных, которые относятся к действительному процессу деформирования, обозначения оставим прежними. Из теории известно, что в идеальном случае безразмерные уравнения, краевые и начальные условия (либо условия, их заменяющие) для модели и реального процесса должны полностью совпадать между собой. Посмотрим, что это будет означать для идеального процесса, моделирующего приливные деформации.
Обратимся к системе (5). Выражение для массовой силы дает первый критерий подобия: объемные силы в модели должны относиться к объемным силам в натуре как
, FiM pM RMW M
k 1 = ^r~ =-------2—. (6)
1 Ft pRW2 v
Для любых разумных размеров модели отношение радиусов RM /R будет ничтожным. Однако сам по себе этот факт препятствием для реализации критерия (6) не является. Действительно, для небесного тела характер массовых сил таков, что их величины зависят от расстояния до центра тела. Пусть Fi = fi ¦ х1, f1 — интенсивность массовых сил. Тогда из (6) следует, что
