Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Equations. Wiley, London, 1969.
[6.25] Fox L., ed.: Numerical Solution of Ordinary and Partial
Differential Equations. Pergamon Press, New York, 1962.
[6.26] Richtmyer R. D.: Difference Methods for Initial - Value Problems.
Interscience, New York, 1957. [Имеется перевод: Рихтмайер P. Д.
Разностные методы решения краевых задач. - М.: ИЛ, 1960. - 262 с.]
[6.27] Mitchell A. R., Wailt R.: The finite element method in partial
differential equations. Wiley, New York, 1978. [Имеется перевод: Митчелл
Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными
производными.- М.: Мир, 1981. - 216 с.]
[6.28] Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. (Babuska I., Vitasek Е., Рга-ger
М.). Численные процессы решения дифференциальных уравнений. - М., "Мир",
1969.
6.29] Eigenberger G., Butt J. V.: Chem. Engng. Sci. 31 (1976), 681.
6.30 Villadsen J. V., Stewart W. E.: Chem. Engng. Sci. 22 (1967), 1483.
6.31] Sevcikova H., Kubicek М., Marek М.: Mathematical Modelling in
Science and Technology, Ed. X. J. R. Avula, R. E. Kalman, A. I. Liapis,
E. Y. Rodin. Pergamon Press, New York, 1984, p. 477.
6.32] Marek М., Kubicek М.: Bull, of Math. Biology 43 (1981), 259.
6.33 Raschman P., Kubicek М., Marek М.: Sbornik V5CHT К 17 (1982), 151.
6.34] Stoer J., Bulirsch R.: Introduction to Numerical Analysis.
Springer, New York, 1980.
[6.35] Flaherty J. E., Paslow P. S., Shephard M. S., Vasilakis J. D.,
Eds.: Adaptive Methods for Partial Differential Equations. SIAM,
Philadelphia, 1989.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Kernevez J. P.: Enzyme Mathematics. North-Holland Publ. Comp., Amsterdam,
1980.
Othmer H. G., Scriven L. E.: I & E. C. Fundam. 8 (1969), 303.
Murray J. D.: Lectures on Nonlinear Differential Equation Models in
Biology. Clarendon Press, Oxford, 1977. [Имеется перевод: Марри Дж.
Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. - М.: Мир, 1983. - 397
с.]
Fife Р, С.: Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing System.
Springer, Berlin, 1979.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
^ Практически фазовый портрет обычно считают известным, если:
а) найдены все особые траектории (положения равновесия, циклы,
сепаратрисы седел и т. п.),
б) вычислено (изображено) несколько "типичных" неособых траекторий, так
что ясно видно их асимптотическое поведение.
Несколько замечаний о бифуркациях в уравнениях с симметриями.
1) Предположим, что система х = f(x, а) допускает симметрию g и некое
положение равновесия х* (а) симметрично (инвариантно относительно
отображения g). Тогда вовсе не обязательно, чтобы при изменении параметра
а происходила бифуркация с потерей симметрии, т. е. чтобы возникали
"несимметричные" равновесия наряду с симметричным (или вместо него).
Пусть, например, g - отражение в плоскости xi=0. Тогда возможны:
а) бифуркации, при которых симметрия внешне никак не сказывается - все
события разворачиваются в (инвариантной) плоскости Xi = 0;
б) бифуркации с потерей симметрии (типа "вилка"). Оба варианта "одинаково
вероятны" - отвечают обращению в нуль одной функции1*.
2) Если симметрия, которой обладают уравнения, достаточно богата, то
возможна "постепенная" потеря симметрии при бифуркациях. Простейший
пример. Пусть система x = f(x, а) инвариантна относительно отражений в
каждой из координатных плоскостей х,- = 0: каждая функция /*,(*) нечетна
по переменной Xk и четна по остальным х,. "Симметричное" положение
равновесия х = 0 (не зависящее от а) может при изменении а "породить>
пару положений равновесия, у которых, скажем, Х\ = icq (а) (=4=0),
остальные Xj равны нулю. При дальнейшем изменении параметра от этих точек
могут ответвиться новые положения равновесия, имеющие больше не равных
нулю координат (инвариантных относительно меньшей группы симметрии).
И Матрица линеаризации А в точке х* (а) (при подходящем базисе) имеет
здесь вид
С с)
где С есть (п-1)-мерная матрица. Случай а) отвечает условию det С = 0,.
случай б)-условию В = 0.
360
Примечания редактора перевода
3) Если система инвариантна относительно непрерывной группы
преобразований g, то при бифуркации с потерей симметрии может возникнуть
континуум положений равновесия (переводимых друг в друга преобразованиями
группы). Простейший пример доставляет система 3 уравнений, инвариантных
относительно всех поворотов вокруг некоторой оси I. Здесь возможны как
бифуркации с сохранением симметрии (положения равновесия остаются на оси
I), так и возникновение целого семейства (окружности) положений
равновесия.
4) Бифуркация типа "вилка" возможна, конечно, и в системах, не обладающих
какой-либо симметрией. Однако при малом возмущении такой системы "вилка"
исчезает и в этом смысле является нетипичной (см. [2.9], § 31).
Авторы не рассматривают здесь случаев, когда при изменении параметра а
период Т(а) обращается в бесконечность. Два сценария возможны уже в
двумерных системах (и часто наблюдаются). Это: (а) превращение цикла в
петлю сепаратрисы; (б) рождение на цикле пары положений равновесия (оба
