Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 736

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 730 731 732 733 734 735 < 736 > 737 738 739 740 741 742 .. 942 >> Следующая

концентрации, бегущие от 2 = 0 до 2=1. Одна из таких волн изображена на
рис. 6.19 (для некоторого момента времени t). Эта волна возникла вблизи
левого конца промежутка, в точке 2 = 0,2 ее форма оказалась уже
достаточно развитой, далее она сохраняет свой вид до значения 9 2 = 0,8,
после чего на правом конце промежутка она исчезает в силу действия
граничных условий (6.5.7b). Определим скорость движения волны как v -
dzv/dt, где zv есть, например, координата вершины волны. Далее, определим
период
п Имеются в виду координаты вершины волны. - Прим. ред.
6.5. Периодические решения в распределенных системах
351
серии импульсов как время между двумя последовательными прохождениями
импульса через заданную точку z, например z = 0,5. Значения v и Т для
волны, изображенной на рис. 6.19, указаны в подписи к рисунку (они были
найдены вычислениями из результатов динамического моделирования). При
более высоких значениях хР волны уже не возникают и система
стабилизируется на устойчивом неоднородном стационарном решении. Более
подробные результаты можно найти, например, в работе [6.31].
6.5.2.2. Волна типа фронта
Фронт представляет собой переход решения системы типа "реакция -
диффузия" от одного устойчивого стационарного решения к другому, причем в
переходном режиме одна часть системы характеризуется значениями одного
решения, а другая- значениями другого решения. Между этими двумя частями
располагается узкая область (фронт), где наблюдается резкая зависимость
физических переменных задачи от пространственной координаты. Указанный
фронт перемещается, в результате чего размеры обеих областей изменяются
до тех пор, пока система не достигнет конечного стационарного состояния,
и фронт исчезнет.
Волну типа фронта мы снова продемонстрируем на примере задачи 12 при
значениях параметров у3 = 3, v0 = 0,01, (3 = 1,5, 6=1,7, а =12.
Стационарные решения системы (Р4-1), (Р4-2) в данном случае имеют вид:
S,: *, = 0,12985, г/, = 0,12404 (устойчивый узел);
S2: *2 = 0,26666, у2 = 0,27906 (седло);
S3: *з= 1,32824, у3 = 5,33927 (устойчивый фокус).
Если для распределенной системы (4.3.7) выбрать граничные условия второго
рода, т. е. условия (4.3.12), то тривиальные стационарные решения
x(z) = x,, y(z)s=yu (6.5.8)
*(z) = *3, y(z)^y3 (6.5.9)
оказываются устойчивыми при Dx = 0,008, Dy = 0,004, L - 2,5, причем от
начальных условий зависит, на каком из этих решений система
стабилизируется.
Переход системы из состояния (6.5.8) в состояние (6.5.9) моделировался
путем изменения начального условия для переменных * и у в точке 2 = 0 в
течение промежутка времени/,:
t <= [0, /,]: * (0, t) = *з, у (0, t) = у3. (6.5.10)
352
Глава 6
Для моментов времени t> t\ вновь действуют граничные условия второго
рода. Состояние системы (в некоторый момент времени) для ^ = 0,1 показано
на рис. 6.20. Скорость движения фронта при этом составляла v ~ 0,115;
весь переход от (6.5.8) к (6.5.9) продолжался приблизительно 22 временных
единицы. При очень малых значениях t\ система возвращается к
стационарному решению (6.5.8). Более подробно эти результаты обсуждаются
в работе [6.31]. Отметим также, что
Рис. 6.20. Волиа типа фронта для задачи 12 при ГУ2: у = 3, Vo = 0,01, Р =
= 1,5, 6 = 1,7, а = 12, Dx - 0,008, Dy = 0,004, L = 2,5; штриховая линия-
решение (6.5.8), штрнхпунктирная - решение (6.5.9).
переходы из одного стационарного состояния в другое могут происходить
либо легко (под влиянием малого возмущения, действующего в течение
короткого времени), либо с трудом, если на границе системы вообще не
реализуемы физически допустимые возмущения.
6.6. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Понятие квазистационарного поведения было введено в § 5.10 'э. В этом
параграфе мы рассмотрим лишь два типичных примера такого поведения для
задач 11 и 13.
Прежде всего мы исследуем эволюцию стационарных структур в задаче 13 при
предписанном изменении (увеличении со временем) длины системы L.
Эволюционная диаграмма для случая ГУ2 изображена на рис. 6.21. Из
сравнения рис. 6.21 с рис. 6.7 можно видеть, что речь идет о движении
вблизи ста-
Напомним, что слово "стационарное" (в составе термина
"квазистационарное") не означает "независящее от времени", а означает
"установившееся" (возможно, достаточно сложное) поведение.
"Квазистационарное" поведение близко к установившемуся в некотором смысле
(не определенном в книге). - Прим. ред.
6.5. Периодические решения в распределенных системах 353
ционарных решений6 по устойчивым ветвям; скачки наблюдаются после
перехода параметра ? через критические значения, отвечающие точкам
поворота на рис. 6.7. Если выбрать коэффициент а, определяющий рост ?,
слишком большим (например, положив L(t) = 6 + 0,002^), то связь между
полученной эволюционной диаграммой и диаграммой стационарных решений на
рис. 6.7 при малых ? уже не будет такой очевидной. Поэтому на выбор этого
коэффициента требуется обратить особое внимание. Если мы, наоборот,
Предыдущая << 1 .. 730 731 732 733 734 735 < 736 > 737 738 739 740 741 742 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed