Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
параметру S. При приближении S к критическому значению S* k' (S) -
. с i/2 / dF dG дН \
IS - S* I *'•" оо I аналогично ведут себя -^г, ¦
Для S, близких к S*, примем за параметр k и положим S = S(k), F = F (z,
k) ... . - Прим. ред.
318
Глава 6
первый взгляд задача переопределена; на самом деле это не так, поскольку
кроме f(z), g(z), h(z) ищутся значения двух неизвестных k и S.
Для решения указанной нелинейной краевой задачи использовались
стандартные разностные замены на сетке с узлами Zi = ih, i = 0, 1, ...,
га, h=\/n (аналогичные заменам вида
Рис. 6.11. Бифуркационная диаграмма задачи 17.
(6.1.23)). В частности, уравнению (6.3.2 lb) отвечает разностная система
= 2 Re (F,a + f ,G,) +
+ VR
а уравнению (6.3.21c)-соотношения вида
ki = - УЙё~(/<+ /i-i), г'=1, 2, ...,".
Если ввести вектор неизвестных величин
X = {Н0, h0, Fn, fо, G0, g0, Hi, hi, Fy, ...
..., Hn, hn, Fn, fn, Gn, gn, k, S) (6.3.23)
и подходящим образом упорядочить разностные уравнения, то мы получим
систему 6 (га-1)+2 нелинейных уравнений
Ф (X) = 0 (6.3.24)
с матрицей размещения, близкой к 15-диагональной. Для решения системы
(6.3.24) можно снова воспользоваться методом
6.3. Нахождение точек ветвления
319
Ньютона, а для решения систем линейных уравнений на каждой итерации
использовать специальные алгоритмы для структурированных матриц.
Размерность решаемых задач оказывается достаточно большой.
На рис. 6.11 приведена бифуркационная диаграмма в плоскости параметров Re
и S, построенная с помощью описанного выше подхода. Эта бифуркационная
диаграмма не является полной. В некоторых ее областях указано число
решений задачи 17 при соответствующих значениях параметров Re и S. На
рис. 6.11 при Re = 625 легко найти все шесть точек поворота, указанных на
рис. 6.2.
S.3.2.2. Метод стрельбы
Опишем кратко этот метод на примере системы "реакция - диффузия" (6.1.1),
(6.1.2) с граничными условиями типа 2, т. е. с условиями (6.1.4). Выбирая
ц в (6.1.24) и используя условия (6.1.4а), мы можем решить задачу Коши
для уравнений (6.1.1),
(6.1.2) на промежутке от точки z = 0 до точки 2=1, где нам нужно
удовлетворить условию (6.1.4Ь), т. е. соотношению
(6.2.32). Если ввести матрицу Якоби
то, в соответствии с п. 5.4.1, необходимым условием вещественной
бифуркации будет выполнение соотношения
Преимуществом метода стрельбы является то обстоятельство, что
бифуркационное условие (6.3.26) записывается в пространстве меньшей
размерности. Используя теперь формулу (6.1.29), перепишем (6.3.26) в виде
Точно так же, как и в п. 5.4.1, мы будем рассматривать уравнения
(6.2.32), (6.3.27) как систему трех нелинейных уравнений относительно
трех неизвестных t]i, ц2 и L ("координат" точки вещественной бифуркации).
Для решения этой системы
') Действительно, если J = 0, то существует ненулевое решение 4ф, ф)
линеаризованной задачи:
(6.3.25)
Е3 (т][, т]2, L) - det J (ri, L) = 0 ".
(6.3.26)
^3(т1р Л2, L) = p'xl(l)p'y2(l)-р'х2(1)р'у1(1) = 0. (6.3.27)
дт)2 ' ф (г) = а
- Прим. ред.
320
Глаза 6
можно воспользоваться, например, методом Ньютона. Матрица Якоби для
метода Ньютона вычисляется следующим образом. Из соотношений (6.1.29),
(6.2.37) найдем значения производных dFi/dtji, dFi/dт]2, dFi/dL, i = 1,
2. Производные для i = 3 можно получить, либо используя разностные
формулы, либо с помощью вариационных переменных второго порядка
дЧ дЧ
PxiЦ - 5т1_ > PxiL - Зт1_ dL ,
д2у д2у
Руч ~ arit. ат1/ ' py{L ~ dt\t dL •
Дифференцируя уравнения в вариациях (6.1.27) по т]ь % и L, можно получить
дифференциальные уравнения для этих переменных и соответствующие
начальные условия.
Рис. 6.12. Бифуркационная диаграмма для задачи 14; у = 20, Рем = 10, Рен
= 5, В = 15, 0с = 0. В отдельных областях указано число решений.
Для нахождения точки ветвления (см. п. 5.4.1) потребуем, помимо
выполнения соотношений (6.2.32), (6.3.27), чтобы было выполнено также
уравнение
Л (Д> Ч2. L) = detG(n, Д) = р', (1)р^(1) -
-P^OKiO) = 0, (6.3.28)
где матрица G получается из матрицы (6.2.33) вычеркиванием среднего
столбца. Для решения системы четырех уравнений
6.3. Нахождение точек ветвления
321
(6.2.32), (6.3.27), (6.3.28), так же как в п. 5.4.1, используется метод
Гаусса - Ньютона. Приложение указанного подхода к задаче 11 читатель
может найти в работе [5.10].
Продемонстрируем использование этого метода для нахождения точек поворота
в задаче 14 в случае, когда параметром является число Da. Таким образом,
нас будет интересовать нахождение y(z), 0(г)-решения краевой задачи
(6.1.35), (6.1.36). Недостающие начальные условия в точке z = 1 выберем
как в (6.1.37): г/(1) = т]1, 0(1) = т\2- Требуя выполнения краевых
условий в точке 2 = 0 (см. 6.1.36а), мы получаем два уравнения:
F\ (rib ть Da) Ш РемУ (0) - у' (0) = 0,
Ft (rii, г)2, Da) = PeH0 (0) - 0' (0) = 0
(см. 6.2.41). Третье, бифуркационное уравнение здесь имеет вид (ср. с
(6.2.42)):
(Ч. Da) = (РемРг,1 (°) - Pyi (°)) (РенРв2 (°) - Ре2 (°)) -
- (Ренре1 (0) - р'в1 (0)) (РемРг/2 (0) - р'у2 (0)) = 0. (6.3.29)
