Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 723

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 717 718 719 720 721 722 < 723 > 724 725 726 727 728 729 .. 942 >> Следующая

g(x, у) = 0, (6.2.51)
решая которое, мы находим зависимость у(х) (часто в аналитическом
виде). Подстановка в уравнение (6.1.1) дает
х"=-^ У = - дг f (*)• (6-2-52>
Положив
l = Lz,
(6.2.53)
312
Глава 6
получим уравнение, не содержащее параметра L:
-0-=-7(6-2'54)
Рассмотрим для примера граничные условия 1 рода (4.3.9). Для уравнения
(6.2.54) они принимают вид
1 = 0: х = х\ 1 = L: х = х. (6.2.55)
Зададим дополнительно при g = 0
= (6.2.56)
после чего проинтегрируем уравнение (6.2.54) от ? = 0, где
л-(0) = х, x'(0) = ri, до такого значения ? = L, где x(L) - x. Это
значение L мы и сопоставим выбранному тр
6.3. НАХОЖДЕНИЕ ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим итерационные методы для нахождения точек
ветвления стационарных решений распределенных систем. В п. 6.3.1 мы будем
находить так называемые точки первичной бифуркации. Пункт 6.3.2 посвящен
более сложным (вторичным) бифуркациям.
6.3.1. Первичные бифуркации
Некоторые задачи обладают так называемыми тривиальными решениями, не
зависящими от части параметров. К ним, в частности, относятся системы
типа "реакция - диффузия", описанные в гл. 4. Тривиальное стационарное
решение для такой двухкомпонентной системы (4.3.5), (4.3.6) однородно по
пространству, т. е. имеет вид
x(z)zsx, y(z) = y. (6.3.1)
¦Оно не зависит от величины параметра L, задающего размеры системы, а
также от величины коэффициентов диффузии Dx и Dy.
Значения х и у определяются уравнениями f(x,y) - 0, g{x, у) = 0 и могут,
естественно, зависеть от параметров, входящих в функции fug. При
изменении этих параметров могут происходить бифуркации, не нарушающие
пространственной однородности. Их можно исследовать методами, описанными
в гл. 5.
В этом пункте мы рассмотрим бифуркации тривиальных решений, нарушающие
пространственную однородность и связан-
6.3. Нахождение точек ветвления
313
ные с изменением параметра L - размера системы. Такие бифуркации мы будем
называть первичными.
Устойчивость тривиального решения (6.3.1) определяется собственными
числамилинеаризованного оператора [2.32]
.. ?>х d2 ,
L2 dz2 "г"011' а'2
Dv d2
021 U!*+<h2
(6.3.2)
при соответствующих (однородных) граничных условиях (типа ГУ2 или ГУ1).
Здесь
df(x,y) df (х, 9)
(6.3.3)
"ч- Тх ' аи- ду
dg (х, у) " dg (х, у) дх 1 й22-~Ту '
Тривиальное решение (х, у) устойчиво, если все собственные числа
оператора 9 имеют отрицательную вещественную часть и неустойчиво, если
хотя бы одно собственное число имеет положительную вещественную часть.
Обсудим теперь устойчивость тривиального решения в зависимости от
величины параметра L и типа граничных условий. Рассмотрим сначала очень
малые L. В случае ГУ1 при L +0 (точнее, при L < Z,min) всякое тривиальное
решение будет устойчивым [6.17]. В случае же ГУ2 вопрос об устойчивости
при L-*- 0 решается в зависимости от поведения системы при отсутствии
пространственных градиентов. (Более формально - от поведения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся при Dx - Dу = 0).
Именно, если все собственные числа матрицы
Г "И" "121
L "21. "22 J
лежат в левой (комплексной) полуплоскости, тривиальное решение будет
устойчивым в случае ГУ2 при Z- ->-(-0. Наоборот, наличие собственного
числа матрицы А с положительной вещественной частью влечет за собой
неустойчивость тривиального решения в случае ГУ2.
С ростом L какое-нибудь из собственных чисел оператора 9 может пересечь
мнимую ось. При этом в результате веществен-
п Точнее, спектром подробности см. в работе [2.32]. (Здесь это уточнение
не нужно: спектр оператора & совпадает с совокупностью его собственных
значений. - Ред.)
314
Глава 6
ной или комплексной бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа) может
появиться новое решение (нелинейной) задачи. Значение параметра L,
соответствующее первичной бифуркации, называют первичной бифуркационной
длиной. Это значение находится следующим образом.
В рассматриваемом случае (тривиального стационарного решения) оператор S
имеет постоянные коэффициенты и его собственные функции выписываются в
явном виде. А именно:
в случае ГУ1: u = [сп sin (ляг), sin (ляг)], n= 1, 2,
(6.3.4)
в случае ГУ2: и = [сп cos (nnz), dn cos {nnz)], л = 0, 1, 2........
Подставив эти выражения в равенство Sxl = км., мы получаем: 1)
собственное число к оператора S, соответствующее собственной функции
(6.3.4) или (6.3.5) при определенном значении я, одновременно является
собственным числом матрицы
которая имеет один и тот же вид для ГУ1 и ГУ2; 2) вектор ^ ) есть
собственный вектор матрицы А". Собственныечисла к
Для того, чтобы к = 0 было собственным числом оператора S, т. е. чтобы
имела место вещественная бифуркация, необходимо б, чтобы при некотором я
Для точки первичной комплексной бифуркации должно выполняться условие
*> Поскольку все собственные функции & имеют вид (6.3.4) (или <6.3.5)). -
Прим. ред.
(6.3.5)
-Ас Ап) + "и, "21.
"12
-DyE(n) + 022
]•
(6.3.6)
матрицы Ап - корни характеристического уравнения
Предыдущая << 1 .. 717 718 719 720 721 722 < 723 > 724 725 726 727 728 729 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed