Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
вычисления нового слоя ;+1. Погрешность аппроксимации в направлении оси z
оценивается на каждом подынтервале Zi) отдельно. Айгенбергер и Батт
[6.29] предложили следующий подход. Приближенное значение решения при t =
tj и z = (z,--i + zt)/2 отыскивается двумя способами (ниже индекс j
опущен). В первом случае мы получаем его интерполированием по узловым
точкам z,-_2, z,_i, z,-,
1-1/2 HZi - - Zi-2) l~2 + 4Zi-X ~ *i-2) г-' +
Zi+Zi-X ~2zi-2 4(Zi ~ Zi-2)
xit (6.4.21)
во втором случае - интерполированием по узловым точкам
-1" li
"(2) _ 2zi+t-zi~zi-1 2z.+l-zi-z._l
'-1/2 4zi+x-zi-1) г-1+ 4zi+i-zi) 1
(6Л22>
Для оценки погрешности аппроксимации на интервале (z,-i, Zi) используется
величина
Е1Х = | хг-1/2 - xf-i/21; (6-4.23)
?'у определяется аналогично. Тогда Е? = max (Е1Х, Е1у). Далее сетка
узловых точек видоизменяется с помощью следующего алгоритма (здесь снова
е - заданная характерная величина погрешности) .
1. Е1> е. Тогда между Zi и z*_ 1 мы добавляем еще одну узловую точку
(Zi_i + Zi)/2. Приближенное значение решения в этой точке находим
посредством интерполяции по четырем соседним узловым точкам z,_2, zi-\,
z,-, zi+i. Проделаем эту операцию для i- 1,2, ..., п. Далее перенумеруем
узловые точки (добавим новые точки с сохранением порядка), после чего
продолжим вычисления на построенной более густой сетке.
2. Е' < е/ю для i = k и одновременно для i - k-\- 1. В этом случае мы
отбрасываем узловую точку z*. и вновь проводим
д^х 1
') -^2 ~ "дГ (*i-i - 2xi + *i+1). Формула (6.4.20), очевидно, переходит в
простейшую при zt - = z{+l - z{ - h. - Прим. ред.
336
Глава 6
соответствующие вычисления Е1 для соседних узловых точек. Затем
перенумеровываем узловые точки и продолжаем вычисления. При этом значение
ю выбирается обычно в диапазоне 10-20.
3. В остальных случаях сетка не изменяется. При этом бывает удобным
задавать максимальное и минимальное расстояние между двумя соседними
точками.
Для оценки погрешности аппроксимации на неравномерной сетке можно было бы
использовать также соображения, изложенные в предыдущем пункте для случая
равномерной сетки. В последнее время появился ряд работ по этой теме,
см., например, сборник [6.35].
6.4.5. Метод прямых
С методом прямых мы уже встречались в п. 6.3.3 (см. уравнения (6.3.31)).
Его применение оказывается эффективным в тех случаях, когда число узловых
точек сравнительно невелико. Последнего можно добиться увеличением
порядка аппроксимации. В данном пункте на примере системы типа "реакция-
диффузия" (4.3.7) будет продемонстрировано использование этого метода для
случая, когда пространственные производные заменяются разностными
отношениями с пятью узловыми точками. При этом порядок аппроксимации по
сравнению с трехточечной схемой (6.3.31) возрастаете 0(h2) до 0(Л4).
Обозначим Xi(t)tsf " x(zi, t), yt(t) ж y(zi, t) и рассмотрим равномерную
сетку г, = = ih, i - 0, 1, ..., щ h=\/n. Уравнение (4.3.7a) заменяется
системой уравнений dx D
~di~ === 12L2h2 2 "h 16x?_i 30xt -f- 16x^_]_i Xi+2) "|- f (Xi, tfo),
t = 2, 3, ..., n - 2, (6.4.24a)
'lit -'12LW (llxo~ 2Q*i + 6*2 + 4x3 - x4) + f (xu yi), (6.4.24b)
dx , Z) dt = 12L2h2 ^ ^Xn + &Xn_2 +
+ 4xn_3 - xn_4) + f (xn_u ya_j). (6.4.24c)
В случае граничных условий 1-го рода вида (4.3.9), мы имеем х0(t) ^вх,
xn(i) = х. Для уравнения (4.3.7Ь) соответствующая замена строится
совершенно аналогично. Таким образом, мы получаем систему обыкновенных
дифференциальных уравнений, которую можно решить каким-либо из методов,
описанных в § 5.7, например методом Рунге-Кутты.
Необходимо, конечно, представлять, что на величину шага, используемого в
явной схеме интегрирования, накладывается
6.4. Методы динамического моделирования
337
ограничение, которое определяется требованием численной устойчивости.
Если же мы применяем схему интегрирования с автоматическим изменением
шага (например, схему Мерсо-на), то будет выбран относительно короткий
шаг интегрирования (~/i2), что, как правило, приводит к большим затратам
машинного времени.
Использование метода прямых на очень редкой сетке узловых точек (часто
неравномерной) приводит к небольшим системам обыкновенных
дифференциальных уравнений, поведение которых можно достаточно эффективно
анализировать методами, описанными в гл. 5. При этом часто оказывается
возможным перенести полученные качественные выводы на исходные
параболические уравнения; в частности, динамическое моделирование
(численное решение нестационарных уравнений) можно проводить только в тех
областях изменения параметров, где в результате анализа с помощью метода
прямых следует ожидать появления каких-либо интересных эффектов.
Продемонстрируем указанный подход, построив аппроксимацию решения задачи
16 с помощью метода прямых [6.10]. Зададим граничные условия (Р16-13) при
Nu-"-oo, Sh->-oo и выберем п узловых точек г\,г2, ..., rn= 1. Предположим
теперь, что пространственный дифференциальный оператор в уравнении (Р16-
11) заменяется в узловой точке г,- некоторой линейной комбинацией
