Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
значения неизвестных функций на новом слое (с верхним индексом /+ 1)
непосредственна выражаются через значения на старом слое (с верхним
индексом /). При этом нелинейные члены f[ и g[ легко аппроксимируются
подстановкой значений х\ и у\ в функции / и g.. Вместе с тем, в случае
явной схемы должно выполняться условие численной устойчивости,
накладывающее определенные
Справедливость этих утверждений зависит от того, как определены fi+w и
ц!+ш -Прим.. ред.
330
Глава 6
ограничения на величину шага т, а именно
)¦
(6.4.6)
Эффективность указанной явной схемы может оказаться довольно низкой, если
из условия (6.4.6) приходится выбирать очень малый шаг т.
При w ф 0 соотношение (6.4.3) представляет собой уже систему уравнений
относительно неизвестных с верхним индексом / + 1. Такой метод называется
неявным. При w ^ 1/2 метод оказывается численно устойчивым, причем длина
шага т ничем не ограничивается. Записав нелинейные члены f[+w, gi+w в
уравнениях (6.4.3) в виде
!{ + w ~ f (wx'+l + (1 - w) xi, wyi+l + (1 - w) y[) (6.4.7)
(член gf+w записывается аналогично), мы получаем систему 2п + 2
нелинейных уравнений, которую можно решать итерациями (например, методом
Ньютона). Поскольку у нас имеется хорошее начальное приближение (а именно
значения на старом слое /), обыкновенно оказывается достаточным одной-
двух итераций. Метод Ньютона предпочтительнее использовать при анализе
быстрых химических реакций (т. е. тогда, когда производные fug велики. -
Ред.). При этом число итераций может оказаться более высоким. Для
вычисления нового слоя используются также неитерационные подходы, в
которых нелинейные члены аппроксимируются иначе - исходя из уже найденных
значений неизвестных. По существу в таких подходах мы имеем дело с одной
итерацией, проводимой каким-либо методом, аналогичным методу Ньютона.
Остановимся на этом вопросе несколько подробнее.
6.4.1. Замена нелинейных членов
Простейшая разностная замена нелинейных членов в схеме
(6.4.3) заключается в использовании линеаризации по x'+i и y'+l, т. е.
для члена fi+w мы полагаем
где коэффициенты а[, bi, с[ зависят от известных значений решения на
старом (/-м) слое. Так, например, при w- 1 член
frw~ai + b(xl+'+clyt+\
(6.4.8)
6.4. Методы динамического моделирования
331
(х|+1)2 можно заменить *) произведением (х!+| • х\у, точно так же (xj+I)3
~ (x,ifx[+l- При w = 1/2 член (х['+1/2)2 можно заменить
выражением Цх[ + х{+1)/2]2 -j- [.(xj)2 -j- 2x(x(+l + xix{+1], Довольно
часто используется еще более простая замена
f\+w~f[- (6.4.9)
Если функции / и g легко продифференцировать аналитически, то можно
воспользоваться формулой Тейлора, т. е. (например, для /•+ш) положить2)
(ср. с (6.4.7))
fi+w ~ft + M w+- - *0 + § I; (*f+e - У1У 3> (6-4-10)
Здесь xi+w ~ шх{+1 + (1 - ш)х{ (аналогично определяется
Если аналитическое дифференцирование fug оказывается сложным,
используются процедуры экстраполяции, при которых
/4-ДО <* / 4- ДО о
значение х' для вычисления /¦ получают экстраполяцией, исходя из значений
на нескольких предыдущих слоях (с верхними индексами j,j-1, ...).
Например, полагают
x{+w ~ (1 + w)xl - wxb1, (6.4.11)
xi+w ~ [1 -f- 1,5w + 0,5w2] xi - (w2 + 2w) xi~] -f- 0,5 (w2 + w) x>r2.
(6.4.12)
Недостатком такого подхода является необходимость сохранять несколько
старых слоев, а также необходимость какой-либо другой аппроксимации в
начале расчета, поскольку алгоритм по-су-ществу является многошаговым.
Еще одним часто используемым методом аппроксимации нелинейных членов
является комбинация явной схемы с шагом wx в качестве предиктора с
последующим использованием неявной схемы при в качестве корректора.
При этом для вычис-
ления нелинейностей используются значения неизвестных, найденные с
помощью предиктора.
о Здесь имеется в виду, что f(x, у) (или g(x, у)) содержит слагаемое х2,
и обсуждается, какое слагаемое можно ввести в определение величины. fi+w.
- Прим. ред.
2> Разумно сначала определить f!+w по (6.4.7) и потом оставить только
первые члены тейлоровского разложения. По существу об этом уже шлА речь
(см. абзац после формулы (6.4.7)).- Прим. ред.
3) Здесь имеется в виду, что (по определению) f [+w = / (x{+w, y[+w)
Прим. ред.
332
Глава 6
6.4.2. Автоматическое изменение шага по времени
Нахождение значений на одном слое при больших п может потребовать много
вычислений, в связи с чем часто оказывается выгодным регулировать длину
шага по времени т в зависимости от требуемой точности решения. Характер
самого решения и его-вариаций во времени может изменяться, а вместе с
ними будет существенно изменяться и шаг т, который обеспечивает заданную
точность. В связи с этим включение в алгоритм изменения шага по времени
может значительно повысить эффективность используемой схемы. Основная
проблема при этом - оценка погрешности решения, вызванной дискретизацией
по переменной t. Отметим, что используемые подходы носят эвристический
характер. Опишем здесь три подхода.
a) Сравнение значений решения на новом слое, полученных с шагом т
