Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
п. 6.1.2):
Вместе с условиями (6.3.40Ь) и (6.3.42Ь) мы получаем 12 начальных
условий, необходимых для интегрирования уравнений (6.3.39) и (6.3.41).
Поскольку собственная функция
u = uR + iur = (yR, wR)-f t(oi, wi)
определена с точностью до ненулевого комплексного множителя, для функций
uR и Ui можно зафиксировать два каких-либо конкретных значения; например,
можно задать oR(l) = Oi(l) =1 (т. е. положить в (6.3.43) г)3 = т|4 = 1).
В точке 2 = 0 мы получаем шесть нелинейных уравнений (6.3.40а) и
(6.3.42а) относительно шести неизвестных тр, т]2, Ps, 116, s и Da. Эту
систему можно решать методом Ньютона, причем матрица Якоби вычисляется с
помощью уравнений в вариациях, либо исходя из соответствующих разностных
формул. Пример сходимости метода Ньютона к точке комплексной бифуркации
представлен в табл. 6.11. При этом соответствующие итерации сходятся к
точке, которая лежит на ветви решений с высокой выходной степенью
конверсии г/ (1) (ср. качественно близкую диаграмму решений на рис. 6.8
для аналогичных значений параметров). В указанной точке стационарное
решение (при убывании Da) теряет устойчивость, и от него отходит ветвь
устойчивых периодических решений (см. п. 6.5.1). Описанный здесь прямой
итерационный метод был рассмотрен на примере двух уравнений
(4.3.7) (или, соответственно, (Р14-7), (Р14-8)). Метод легко
обобщается на задачи с большим числом уравнений, но размерность
возникающих при этом (конечномерных) задач, очевидно, возрастает.
(0) - PeMoR (0) = 0, v\ (0) - PeMoJ (0) = 0,
ш' (0) - Реншк (0) = 0, w\ (0) - Ренау, (0) = 0,
°R (1)= 0, v\ (1) = 0,
ayR(l) = 0, ш'(1) = 0.
(6.3.42а)
(6.3.42Ь)
У (1)= Ль 0(1) = т12. "R(l) = Tb, щ(1) = п4,
"'к(1) = 'П5, а'1(1) = 'Пб.
(6.3.43)
328
Глава 6
Таблица 6.11. Пример сходимости метода Ньютона к точке комплексной
бифуркации для задачи 14 (у-*-оо, В - 12, |3 = 2, вс = О, Рен = 2,
Рем = 2, Le= 1).
Ите- рация 4l 42 Чз ч- Чз Ч" Da S Сумма квадратов
невязок уравнений (6.3.40а). (6.3.42а)
0 0,9900 2,6000 1 1 -9,0000 1,0000 0,2600
7,0000 3,ЗЕ7
1 0,9923 3,1587 1 1 -3,9680 -12,0688 0,0994
4,7500 4,ЗЕ6
2 0,9957 3,1113 1 1 0,9959 15,0972 0,1365
3,9104 2,8Е5
3 0,9944 3,1163 1 1 0,2184 7,8562 0,1367
5,4697 1,7Е5
4 0,9923 3,1415 1 1 0.3002 10,8979 0,1293
5,3730 2.3Е4
5 0,9906 3,1587 1 1 0,3355 10,8468 0,1267
5,2133 1,8ЕЗ
6 0,9897 3,1677 1 1 0,3453 10,7580 0,1256
5,1172 4,2 Е1
7 0,9895 3,1697 1 1 0,3452 10,7350 0,1254
5,0866 9,5Е-2
8 0,9895 3,1698 1 1 0,3450 10,7331 0,1254
5,0843 2.1Е-5
9 0,9895 3,1698 1 1 0,3450 10,7330 0,1254
5,0843 3,7Е-9
6.4. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ1)
Для решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными
параболического типа существует целый ряд численных методов. В
большинстве случаев они представляют собой различные варианты конечно-
разностных методов, метода прямых и метода конечных элементов. Наряду со
специальными работами имеется много учебников и монографий, посвященных
численным методам решения дифференциальных уравнений с частными
производными [6.23-6.28]. Ниже мы лишь кратко опишем основные конечно-
разностные подходы и обсудим проблему их эффективной алгоритмизации. Все
рассмотрение будет проведено на примере системы типа "реакция-
диффузия" (4.3.7), т. е. для случая одной пространствен-
ной переменной.
В полуполосе 0 ^ z ^ 1, О < оо выберем равномерную сетку узловых точек
(zi, tj);
zt = ih, i = 0, 1, ..., n, h = 1/n,
ti = jx, j = 0,1,2,..., т > 0. (6A1>
о Имеется в виду численное моделирование динамики, т. е. численное
решение задачи Коши (точнее, задачи с начальными и краевыми условиями).-
Прим. ред.
6.4. Методы динамического моделирования
32"
Значения приближенного решения в этих узловых точках будем обозначать как
х\ ~ х (zi> */). У\ ~ У (zi' */)¦ (6.4.2>
Наиболее часто используется шеститочечная разностная схема типа Кранка -
Николсона. Для системы (4.3.7) она дает:
т W+1 - *0 = w-(*? 1 - 2*2:+1 + *?!) +
+ W-1 - + *l+>) + Я+"" (6-4-3а>
т W+I ~у1) = Ш Wi' ~ 2^'+I + ^+0 +
+ °yLv w) W-i - 2^ + у\+0 + ^+ш- (6A3b>
Формулы (6.4.3) включают в себя явную схему (ш = 0), чисто неявную схему
(ш = 1) (обе с погрешностью аппроксимации порядка 0(т4-/г2)), а также
классическую схему Кранка - Николсона с погрешностью аппроксимации
порядка 0(т2 + + h2) (ш = 1/2)1). В случае граничных условий 1 рода
естественно положить при всех j
х'0+1^х, 4+| = х; У1+Х=У, У!п+1=у. (6.4.4)
При этом формулы (6.4.3) записываются для г' = 1,2, ..., п- 1..
В случае граничных условий второго рода (ГУ2) уравнения
(6.4.3) рассматриваются для г = 0, 1, ..., п, а граничные условия
(4.3.12) заменяются соотношениями
xi+i = xi+it xin+ii = xi+u y,+i=yi+it y/+i=y/+i. (6.4.5)
Схема (6.4.3) является одношаговой по переменной t, а это значит, что
новый слой j + 1 можно вычислить исходя из старого слоя у. Это значит,
что значения fi+w и g'-w зависят только-от х1, х'+\ yi и у1+1. Явная
схема (ш = 0) представляет собой наиболее простой случай, поскольку
