Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
dV, , , ,
-&r^- =mnZ'n + h тп
т
и вторую группу ЬУ,
ba, j ЬУ,
bb,г
ЬУ,
bc,г
Наконец,
-т1а',1 + Л1т1,
m^b,i + I
-т1с',1 + Л з тг,
ьу,
ba,п
ЬУ,
bb, п
ЬУ,
bc, п
~тпа',п Л1тп; -тпЬ:п+Лгтп; -тпс:п + Л3тп.
(№>
ЬУ,
ьн,
= t.
т
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
195
Для шести множителей Д2, А3, Av Л2, Л3, которые были введены тремя
конечными уравнениями условий (45) и тремя аналогичными начальными
уравнениями условий
2 та, = 0, yjmb, = 0, 2 тс, = 0, (55)
мы, продифференцировав эти уравнения, получаем
2тх',= 0, 2ту', = 0, 2mz',= 0 (56)
и
У, та', = 0, 2 mb', = 0 , 2 тс', = 0 . (57)
Следовательно,
6V, " 8V, " ьу,
У - .У
2-
2
2т ' 2 2т'3 2т
ЬУ, " <5К, " 8V,
у
- да, , ^ 8 Ь, . ^ дс, /СГ1,
Д = -^, Д = - , Л, = - - . (59)
1 2т' 2 2т'3 2т ' '
11. В качестве примера определения этих множителей мы можем
предположить, что часть V, полного действия 1/ была выражена до
дифференцирования как функция Н, и следующих бп - б независимых величин :
X, 1 X/ л , X/ 2 X/ п ^2 > • • • > Х> n-i X, п ?п-1 1
У/i -У/П = Ч1, У'2~У'п = Ъ, ¦¦¦, У>п-1-У'п = Пп-15
2/i 2, л , 2/2 2/ л ^2 / • • • j 2/ л-1 2/ п ^п-1
(60)
Щ 1 й/ п 0(i у а, 2 а, п / • • • " л-1 п 1 j
b, I b, п = Ь, 2 Ь, п = , ••• у b, n-i b> п = fin-i;
^ (61)
С'1 п У1 > ^/2 С-, п У2 / • • • > л-1 л Уп-1 j
т. е. разностей цент роба рических координат [78 ], или, другими словами,
как функция координат (начальных и конечных) п - 1 точек системы,
отнесенных к п-й точке как внутреннему или подвижному началу, так как
центробарические координаты х>и y>h z,h a,h b>t, сп посредством уравнений
условий могут быть сами выражены как их функции, а именно:
" 2 т$ 2 тп г 2 т?
X't - <=/ 2Гт~ ' У'1 ~~7,1 ~ 2 т ' Z'1 ~ ^ 2
т ' ^ ^
подобным же образом
2 та , о 2 mfi " 2 ту /соч
а,' ~ т ' Ь,' - 2т' ' 2т' ^ ^
относительно которых надо отметить, что шесть величин ?", цп, ?п, ап,
/?", уп должны рассматриваться как обращающиеся в нуль независимо одна от
другой. Когда V,, таким образом, выражена как функция центробарических
координат, включающая только их разности, она, очевидно, будет
удовлетворять шести уравнениям в частных производных [79] :
, 6V, п " 6V, п УС 8V,
196
У. ГАМИЛЬТОН
поэтому после подстановки такой функции У шесть множителей, определенных
посредством (58) и (59), исчезнут, так что мы получим
- О, Х2 - 0, А3 - 0, - 0, Л2 - 0, /1д - 0,
а группы (М1) и (N1) сведутся к двум следующим группам :
(64)
бу, бх, ! ЬУ, бу, 1
6У,
бг.
бу, ба,! 6V,
6Ь, !
6V,
бс,л
= mi х; 1,
= щу'1,
= m1z;ll -Ща'ч,
-т1ь,
6V, бх, 2
бу,
бу,2
бу, бг, "
= т2х',.
т2у',2..
- т2 z, j
= -rn, с,
1 >
бу, ба, 2
6V,
6Ь,2
6У, бс,,
= - т2 а, 2, = -т2Ь',2, = 2 >
6У,
бх,п
6У,
Ьу,п
6V, 6z, п
6У, ба, п
6V, бЬг п
ЬУ, бс, л
= тпх:п; = тпу',п; = "in z,' "
(Q1)
= -тпь:п,
- ttln С/ п ,
(R1)
во всех отношениях аналогичным группам (С) и (D). Следовательно, для
относительного движения системы около ее собственного центра тяжести мы
находим уравнения того же вида, как те, которые мы получили раньше для
абсолютного движения той же системы точек в пространстве. Мы видим также,
что, исследуя только такое относительное движение, полезно ограничиться
частью У, нашей полной характеристической функции, т. е. относительным
действием системы или накопленной живой силой движения вокруг центра
тяжести, и рассматривать эту часть как характеристическую функцию такого
относительного движения в смысле, аналогичном тому, который уже был
расъяснен ранее.
Однако это относительное действие, или часть У,, межет быть выражено
другим способом и даже бесконечно разнообразными способами с помощью
шести уравнений условий, которые связывают бп центробарических координат
; каждая другая его форма даст другую группу значений для шести
множителей A1( А2, А3, Av Л2, Л3. Например, мы можем при помощи
предыдущего способа исключить из выражения У, шесть центробарических
координат точки тп, с тем чтобы это выражение включало только
центробарические координаты других п - 1 точек системы, и тогда мы будем
иметь
бУ> " бу, л бу, _ бу
бх, п
= О
= 0,
-О,
Н=о,
'бу.
= 0.
W,
= 0, (S1)
бу, п ' 6z,n ' ба,п 1 ' бь, п " ' бс, п
после чего посредством шести последних уравнений групп (М1) и (N1) эти
множители примут значения :
К ~ х> т К = У' п > ^3 = Z' п ! -^1 = "'л I -^2 = Ь, п 7
-^3 = п > (65)
и посредством равенств (60) и (61) предыдущие 6/7 - 6 уравнений тех же
групп (М1) и (N1) сведутся к виду :
6V, бх, j
6У,
бу,г
6V,
бг, j
= mi?!, = Щ v'l , = mi с;,
б у,
бх,2
6V,
бу,2
6V, бг,"
т2?2,
ЩПг,
т2С2,
бу,
1 ?п-1, = /77"_1 7/п-1 !
бг, n-i = ГПп~1
бх, л-1
6V, бу, л-1
6V,
(Т1)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
197
И
12. Мы можем также выразить относительное действие V, как функцию не
центробарических, но каких-то других внутренних координат или отметок
относительного положения. Мы можем, например, выразить V, и ее вариацию
как функции уже упомянутых 6л - б независимых внутренних координат f, г),
С, а, р, у и их вариаций, определяя их, совершенно безотносительно к
