Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при
помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих
предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен
исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет
собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта
функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем
же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и
выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными
первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух
зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем
для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных
выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к
тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш
метод также неприменим ; однако среди людей, наиболее глубоко
занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет
убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным
пониманием взаимодействия тел.
9. Из предыдущих замечаний следует, что для того, чтобы применить наш
метод к любой задаче динамики, относящейся к любой движущейся системе,
необходимо сочетать известный закон живой силы с нашим законом
переменного действия. Общее выражение этого последнего закона может быть
получено следующим образом. Прежде всего мы должны выразить величину Т,
т. е. половину живой силы системы, как функцию (которая всегда будет
однородной функцией второй степени) производных р[, г\'% и т. д. любых
прямоугольных координат или других отметок положения системы. Затем мы
должны взять вариацию этой однородной функции по г][, щ и т. д. и
заменить вариации 8г\'г, дг]'2 и т. д. вариациями 8рх, и т. д. самих
отметок положения. Наконец, надо вычесть из конечного значения результата
на-
190
У. ГАМИЛЬТОН
чальное значение и приравнять полученную разность величине 5V-t ЗЯ[76].
Легко заметить, что это общее правило, или процесс получения вариации
характеристической функции У, применим даже тогда, когда отметки
положения щг и т. д. не независимы одна от другой. Это будет иметь место
в том случае, когда по соображениям удобства они взяты в числе большем,
чем число прямоугольных координат отдельных точек системы. В самом деле,
если мы предположим, что 3 п прямоугольных координат х,у,г, , хп, Уп, zn
выражены посредством какого-либо преобразования как функции Зп+ к других
отметок положения щ, щ, ..., %"+*, которые поэтому должны быть связаны к
уравнениями условий
0 = ф1 (Vi, % , • • • > Vzn+k),
О = Ф2 (Vi , Vi, • • • > Vzn+k),
(31>
О Фk(,Vl > Vi , • • • , Vzn+k) ,
дающими к новых отметок положения как функции остальных 3п отметок,
Vsn+i = 1Pi(Vi, Vi, •••" Vin),
Vzn+z - X^i ('Vi, Vi, • • •, Vzn) , (32)
то выражение
Vzn+k ^kiV 1 > Vi, • • • , Vzn) ,
r = y^m(x,2 + y/2 + z'2)
(4)
превратится благодаря введению этих новых переменных в однородную функцию
второй степени 3п + к величин rj'b %,..., %п+к, включающую в общем также
r)v щ,..., щ"+к. Вариация ее может быть выражена следующим образом:
)т=Ш "+Ш **+•¦• + ЫЕг) +
+ О *1, + (Ш И + ¦ • ¦ + (-5^) (33)
или, иначе,
*т = -щ** + %4+ ...+-Sr^ +
+ ?'*П + %Ыш+ ••• +-?%", (34)
благодаря соотношениям (32), которые, будучи дифференцированы по времени,
дают:
Vzn+i - Vi
Hi
Vi
Vzn+z = Vi~^
Hi
' ^JL Hi
" ¦ ^3n H*n
%-xr-+ •••
_ , bVk . , 64>k
Vzn+k - Vi -6rii + Vi brh +
Vz n
6Vk
Нзп
(35)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
191
и, следовательно, варьируя лишь величины вида ??',
6Ч,1
дПзп+1 - &Г)х
ч
Зл + 2
дт] 1
А ' I 6Ч/г
6fh+-^
ч + ч +
дщп
д?.
дузп
Чзп, Ч п>
. , 8!?* " , , ЬЧ*к , , . , дЧ*к , ,
<Чл+* = "а^7 + • • • + ^ •
(36)
Сравнивая два выражения (33) и (34), мы при помощи (36) находим
соотношения
дТ МП + ( дТ 6V, + ( дТ дг,г + ¦ • + [ дт ) д?к
дт]1 " 1 А" J 1 &7з"+1 1 &73П + 2
дъ >
ST ( *П + Г 6Т ) + ( дТ 1-^ + <4 + • • + г дт
1 дЧ>к
дгр >дг) з"+1 J дщ 1 дщп+г дщ '
дТ (8Т) + Г дт Л д?г + ( дТ . бг}$ п • + ( дТ д?к
dijsn \df]'<)n) , дг] з"+1 , дщп ,дц3п + 2
, дцзп+к , дщп '
(37)
которые дают посредством (32)
,Ч + -щЧ+ ... + ^;Чп=(-щ)Ч + ¦¦¦+(-щЬ~)дЪп+к. (38)
6Г
8ц.
Следовательно, мы можем написать выражение (Q) в следующем более общем
виде :
м = 2{-%-)^-2{?)1е + <т- <А'>
Здесь производные образуются, считая все Зн + к величин г)'ъ . ..
• ••, Ъп+к независимыми ; это есть распространение провозглашенного выше
правила образования вариации характеристической функции V.
Мы не можем сразу разложить это новое выражение (А1) для 6V, как мы это
делали для (Q), рассматривая все вариации б"?, де как независимые. Однако
мы сможем разложить (А1), если предварительно примем во внимание конечные
уравнения условий (31) и аналогичные начальные уравнения условий, а
именно:
О - (^1 > ^2 > • • •) ^3п + к) "
О = Ф% (^1 > ^2 > • • • > ^3п + к) >
