Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 99

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 461 >> Следующая

характеристической функции, то это приведет (как и в предыдущих случаях)
к известным дифференциальным уравнениям второго порядка.
О невозмущенном движении планеты или кометы вокруг Солнца; зависимость
характеристической функции такого движения от хорды
и суммы радиусов
15. Пусть для определенности
/(0 = у, (101)
т. е. мы будем рассматривать такую бинарную систему как планета или
комета и Солнце, подчиненную ньютонову закону притяжения; для краткости
положим
I ^ т, TTla /, ЛЛ,
m1 + m9 = /i, -у = Р, 2 и а- (102)
Теперь характеристическая функция V относительного движения может быть
выражена следующим образом :
dr , (А3)
где р рассматривается как функция крайних радиусов-векторов г0 и г и
ограниченного ими угла ft, включающего также величину а или связанную с
ней величину Н, и определяемого условием
ft = Г , ± dr = ' (В3)
J 21/ 2 1 1
r° r 1 гр ар г2
т. е. производной от выражения (А3), взятой по р. При этом верхний знак в
каждом выражении берется, когда расстояние увеличивается, а нижний знак -
когда это расстояние уменьшается; величина р рассматривается при
вычислении обоих определенных интегралов как постоянная. Из сказанного
выше вытекает, что эта величина р является постоянной также в том смысле,
что она не зависит от времени и не меняется в процессе движения и что
условие (В3), связывающее эту постоянную с г, r0, ft, представляет собой
уравнение плоской относительной орбиты, которая, следовательно (как это
давно известно), является эллипсом, гиперболой или параболой в
зависимости от того, является ли постоянная положительной, отрицательной
или нулем, причем начало г всегда представляет собой фокус кривой,
208
У. ГАМИЛЬТОН
а р представляет собой полупараметр. Отсюда также вытекает, что время
движения может быть выражено следующим образом:
. _ W' _ 2аi АУ, 3
' дН, т1т2 да ^ 1
и, следовательно,
t = Г - - r-dr -.. . (D3)
J у 2ц /г рр
Г° fг а г2
Последнее выражение известно. Здесь мы ограничиваемся случаем, когда ¦а >
0, и вводим известные дополнительные величины, называемые
эксцентриситетом и эксцентрической аномалией, а именно :
(103)
И
V = cos-1 , (104)
что дает
± У'2аг - г2 - pa = acsinv, . (105)
где v считается постоянно возрастающей во времени; следовательно, как
хорошо известно,
г = а(1 - ecosv), г0 = а(1 - ccosv0),
(106)
2 j
И
t = ^~ (v - v0 - esinv + esinv0). (107)
Мы находим, что выражение характеристической функции относительного
движения
г ±(-
v _ Щ т2 Г {г а) /рз\
^ J 1/ПХГХ '
г" |/ /¦ а /-3
выведенное из (А3) и (В3), может быть преобразовано следующим образом :
V, = m1m2^j (и - и0 + е sin v - е sin г>0), (F3)
где эксцентриситет е и конечные и начальные эксцентрические аномалии v,
vQ должны рассматриваться как функции конечного и начального радиусов г,
г0 и угла ¦&, определяемых посредством уравнений (106). Выражение (F3)
может быть написано следующим образом :
V,
= 2m1maJ^ (v, + c,sin",), (G3)
если мы для краткости положим
V -¦ V + "АП,
v,= -^, е, - е cos --- . (108)
Для полного определения характеристической функции данного относительного
движения остается, следовательно, определить две переменные
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
209
v и е в качестве функций г, г0, & или функций какой-либо другой группы
величин, которые характеризуют форму и величину плоского треугольника,
ограниченного конечным и начальным радиусами-векторами и эллиптической
хордой.
Для этой цели удобно ввести саму эллиптическую хорду, которую мы
обозначим ± т, так что
т2 = г2 + r\ - 2r0cos#, (109)
так как эта хорда может быть выражена как функция двух переменных V., С/
(включая также среднее расстояние а) следующим образом. Значение (106)
угла # с помощью равенства (95) для в -в0 дает
tg|j = 0o-2tg-1j]/^ tg-^j=S, (110)
где со представляет собой новую постоянную, независимую от времени, а
именно одно из значений полярного угла в, соответствующее минимуму
радиуса-вектора, и, следовательно, с помощью (106):
г cos (в - ш) = a (cos v - е), г sin (в - ш) = a fl - с2 sin v, 1
НШ)
г о cos (0О - S) = a (cos vQ - е), r0 sin (в0 - 3) = а У1 - е2 sin v0. J
Эти выражения дают следующее значение для квадрата эллиптической хорды:
т2 = {г cos (в - ш) - r0 cos (0" - ад)}2 + {г sin (в - ш) - r0 sin (60 -
й")} =
= a2 {(cos v - cos г>0)2 + (1 - ez) (sin г" - sin г>0)2} =
= 4a2sinv? j(sin -'у--) +(1 - с2) (^cos | = 4a2(l - е?) sin г"?. (112)
Мы можем также считать, что т имеет тот же знак, что и v, если мы в
последовательные эллиптические периоды или обращения, начинающиеся от
начального положения, будем попеременно рассматривать его то как
положительный, то как отрицательный.
Кроме того, если мы обозначим через а сумму двух эллиптических, конечного
и начального, радиусов-векторов, так что
<> = г + га, (113)
то при наших сокращениях имеем
а = 2а (1 - е, cos г",); (114)
переменные v,, е, являются поэтому функциями а, т, а, и, следовательно,
характеристическая функция V сама является функцией этих трех величин.
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed