Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
(S)
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
187
Величины еь е2,..., езп и еъ е2,..., е3п представляют собой начальные
данные, относящиеся к способу движения системы, а 3п конечных интегралов,
связывающих эти 6л начальных данных и л масс со временем t и с Зл
конечными или переменными величинами %, >?2,..., rj3n, отмечающими
переменные положения л движущихся точек системы, получаются теперь путем
исключения вспомогательной постоянной Н из Зл + 1 уравнений (S) и (Е). В
то же время Зл промежуточных интеграла или интегралы первого порядка,
которые связывают те же переменные отметки положения и их первые
производные со временем, массами и начальными отметками положения,
получаются в результате исключения той же вспомогательной постоянной Н из
уравнений (R) и (Е). Поэтому наша основная формула и промежуточные и
конечные интегралы могут быть очень просто выражены в любой новой группе
координат. При этом частные производные (F), (G), которым должна
удовлетворять наша характеристическая функция V и которые, как мы уже
говорили, имеют существенное значение для теории этой функции, также
могут быть легко выражены любыми подобными преобразованными координатами
путем простого сочетания конечных и начальных выражений закона живой
силы:
Т =U + Н, (6)
Т0=н0 + Н, (7)
с новыми группами уравнений (R) и (S). Для этого мы теперь должны
рассматривать функцию U масс и взаимных расстояний отдельных точек
системы как зависящую от новых отметок положения щг,..., >?3п,
а аналогичную
функцию U0 - как зависящую подобным же образом от начальных
величин
ev ег,..., езп. Мы должны также предположить, что Т является (что в
действительности возможно) функцией ее собственных производных,
дТ дТ "
-щ-, ... ,-Q-r- всегда однородной второй степени по отношению к ним
и может также в явном виде включать величины v3n, а Т0. является
подобной же функцией производных
Итак,
8Г0 8T" <5Г"
dei ' dei ' • • ' ' Ье'а"'
8T 8T
dtji drjin
V nei ST9 ST0
dei ' • • • ' dein
(25)
причем производные Т и Т0 заменяются своими значениями (R) и (S), давая
взамен (F) и (G) два других преобразованных уравнения, а именно:
Е. (<5V 8V 6V \
я щп) и + и> (т)
и, вследствие однородности и степени Т0
sv dv_ av
с'l dv dv i _ r. . " ....
F1 дег ' 6e2 de3n J 0 ' ^ ^
8. Точно так же совсем нетрудно вывести аналогичное преобразование
известных дифференциальных уравнений движения второго порядка для любой
системы свободных точек, взяв вариацию новой формы (Т) закона живой силы
и использовав динамические значения производных нашей
188
У. ГАМИЛЬТОН
характеристической функции. В самом деле, если мы заметим, что конечная
живая сила 27, рассматриваемая как функция переменных ..., щп
и Vi, Ъ> *"*, обязательно является однородной функцией
второй
степени относительно последней группы переменных и,
следовательно,
должна удовлетворять условию
, ьт . , ьт . , ьт ,0йЧ
" % Ьщ + ^ Зщ + • • • + Г1зп Ъщп ' ( ^
то мы найдем, что ее полная вариация
+ Щ**+%гЧ+ ••¦+?*?. (27)
может быть представлена в виде
Ат1 ' А I ' А I I ' А
8T = Vi°-*zr + V2°ii^r+ +V3no-
Ьщ ^ ~ df]i 1 • ¦ • 1 '13п ~ дт]з"
6Г <- 6Г . <5Г <-
"й4-••• =
= (28)
Таким образом, полная вариация нового уравнения в частных производных (Т)
может быть записана следующим образом :
2{*^-%"ч) = 2т,-д'> + 1>и- <v)
Заметив, что rf = ~ и что величины вида rj являются единственными,
которые меняются со временем, найдем, что
^ / a W ( d av . . d 8V <- i . d bV
+ -W-6FV+ ШШ8Н' (29>
так как тождество 5dV = ddV в развернутом виде дает .2(* ?* + *?*)+*?"-
Разлагая выражение (V) вариации половины живой силы на столько отдельных
уравнений, сколько оно содержит независимых вариаций, мы получаем не
только уравнение
- - = 1 (К)
dt 6Н 1 ' ^
которое уже появлялось, и группу
d sv _ d bv _ n i sk_. .
dt se; dt de2 ' •" ' dt be3n ^
которая может быть сразу же получена путем дифференцирования конечных
интеграллов (S), но также группу других 3п уравнений вида
d_sv ьт _ 8и_ гхч
dt St) brj brj ' ' ^
ОБ ОБЩЕМ МЕТОДЕ В ДИНАМИКЕ
189
которые посредством промежуточных интегралов (R) дают уравнение
¦ ji^ST^ 6Г _ ЬЦ
dt Ьт]' дт] Ьг} 7
или в более полном виде
d ЬТ ST _ SU
dt brji *7i bVl 7
d ST ST _ ьи .
dt ьПг _
d ЬТ ЬТ SU
dt bfj'm Ьщп Sfjsn
Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго
порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех
отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с
изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Mecanique Analytique,
но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей
характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным
и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и
подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и
отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются
влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой
силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а
