Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Задача о сильном взрыве. При сильном взрыве заряда происходит почти мгновенное выделение значительной энергии и в направлении от места взрыва начинает распространяться ударная волна. Давление за передней поверхностью (фронтом) волны во много раз больше начального давления воздуха. В зависимости от геометрической формы заряда фронт может принимать различный вид. Если взрыв происходит в одной точке (точечный взрыв), то фронт в каждый момент времени представляет собой сферу радиуса R(t) (рис. 40, а). Если заряд равномерно рассредоточен вдоль прямой (осесимметричный взрыв), то
Рис. 40
фронтом является цилиндр радиуса R(t) (рис. 40,6). Наконец, если заряд равномерно распределён по плоскости (плоский взрыв), то фронт представляет собой пару плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 2R(t) (рис. 40, в).
Выберем в качестве определяемой величину R и перечислим определяющие параметры. К ним следует отнести время t,
Размерности физических величин
131
плотность р атмосферы, в которой произведён взрыв, а также характеризующий мощность заряда параметр Е. Последний в зависимости от случаев а, б, в представляет собой либо энергию, либо её линейную или поверхностную плотности соответственно. Таким образом, к = 3, Х\ = t, X2 = р, X3 = E и
R = f(t, р, Е). (11.22)
Размерности всех параметров задачи следующие: [t] = Т, Iр\=МЬ~3, [Е\ = M LN~lT~2, [R\=L, где TV=I,2,3 для
плоского, осесимметричного и точечного взрывов соответственно. Нетрудно заметить, что для любого N тройка величин t, р, E размерно независима, и её можно выбрать в качестве базиса (т = 3).
Для выражения в этом базисе размерности [R] найдём параметры а\, а2 и а3 следующей степенной функции:
[R] = [t]^[p]^[E]a\ (11.23)
Приравнивая в обеих частях равенства (11.23) показатели при М, L и Т, придём к системе уравнений:
' 0 = Ol2 + Ca3,
< 1 = —Зс^2 + (N — 1) о^з,
ч О = Oi — 2а3.
Её решение таково: a\=2/(2 + N), a2 = —l/(2 + N), а3 = = l/(2 + N). Таким образом,
[R] = [tf2+N)-l[p]-(2+N)-l[E](2+N)-\
Единственная безразмерная величина в данной задаче имеет вид
Так как к — т = 3 — 3 = 0, то согласно П-теореме П = Ф, причём Ф ни от чего не зависит и равно некоторой константе С. Из (11.24) получим следующее выражение для R:
і
_ (Et2 Y+N = Сдм -
R = J • (11-25)
Чтобы найти константы С\,С2,С3, достаточно осуществить по одному взрыву каждого из трёх типов. Зная E и р, надо измерить время ?*, за которое фронт волны пройдёт расстоя-
9:
132
Лекция 11
ниє і?* между зарядом и улавливающим прибором. Тогда из формулы (11.25) получим
Скорость у распространения фронта получается дифференцированием по t обеих частей (11.25):
Как видно, V —> оо при t —> 0, но характер особенности v ~ ^?_лг/(2+лг) зависит от N, т. е. от формы заряда. Интересно, что для увеличения скорости у вдвое в плоском случае надо выбрать заряд в 8 раз мощнее, в осесимметричном — в 16 раз, а в сферически симметричном — в 32 раза!
Подробнее о задаче о сильном взрыве читатель может узнать из книги [51], где также опубликованы фотографии взрыва атомной бомбы в Нью-Мехико в 1945 г. Стробоскопический анализ этих фотографий очень хорошо подтверждает формулу (11.25) для случая N = 3. По расчётам Дж. Тейлора в момент изображённого взрыва выделилась энергия порядка IO14 кг-м/с2, или IO8 МДж. К таким же выводам независимо пришли JI.И. Седов и Дж. фон Нейман.
Задача об обтекании шара потоком. Поместим в горизонтальный поток сжимаемого вязкого газа абсолютно твёрдый шар и будем удерживать его в состоянии покоя. После того, как течение установится, со стороны окружающей среды на шар
скорости у газа на бесконечности (характерной скорости) и физико-механических свойств — плотности р, динамической вязкости /і и скорости звука с в газе. Таким образом,
(11.26)
(11.27)
будет действовать некоторая постоянная сила F. Следовательно, для удержания его в покое надо приложить силу -F (рис. 41).
Величина F = \F\ может зависеть от радиуса шара а (характерного линейного размера),
Рис. 41
F = f(a, v, р, /і, с), к = 5.
(11.28)
Размерности физических величин
133
Выпишем размерности определяющих параметров и определяемой величины: [a]=L, [v\=LT~l, [р] = ML-3, [р] =
= ML-1T-1, [с] = LT-1; [F] = МЬТ~2. Любые три из первых четырёх определяющих параметров размерно независимы. Результат не должен зависеть от того, какую тройку величин включить в базис, поэтому положим: Х\ = a, X2 = v, Х3 = р, X4 = р, X5 = с.
Для выражения размерностей [р], [с] и [F] в базисе a,v,p запишем три степенные функции:
Щ = [a]fr[v]h\p]&, [с] = [а]71 [г;]'72 [р]73, [F] = [а]а1[и]а2[р]аз,
(11.29)
и получающиеся после приравнивания показателей при М, L и T в каждом из равенств (11.29) три неоднородные системы линейных уравнений:
"0 = 73,
- ЗДз, M = 7! + 72 — З73,
, - 1 = -72,
имеющие решения: (5\ = /? = /? — 1, Ti = 7з — 0, 72 = I, = = а2 = 2, «з = 1.
Итак, в задаче образуются три безразмерных критерия:
= U2 = -, п= F
CLVp V CL2V2P
