Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
кі — единичный тензор четвёртого
где A = Aijkiki <g> kj ® кк ранга с компонентами
1
^ijki — 2 WjI + SuSjk)-Легко проверить, что
9 д daij
ZlXijkI
¦
да
•ji
(10.6)
(10.7)
дам дац
для любого тензора второго ранга а. Из определения (10.6) кроме того следует, что для любого симметричного по первым и последним двум индексам тензора четвёртого ранга А справедливы
112
Лекция 10
соотношения
AijklAklmn — ^ijkl Aklmn — Aijmn ИЛИ Al А — А \ А — А,
(10.8)
т. е. тензор А в самом деле является единичным.
Из (10.4) следует, что тензор модулей упругости перестановочен ещё и по парам индексов. Эта перестановочность эквивалентна равенству смешанных производных от W по Sij и єц'-
да,, S2IV дНУ даы
^ijkl = т;— = т;-^— = т;—^— = — = ^klij, (10. У;
O^kl QSklOSij OSijOSkl OSij
Cijki Cjiki Cijik CkUj- (10.10)
Подсчитаем, сколько независимых компонент в M3 имеет тензор модулей упругости, обладающий симметрией (10.10). В общем случае в M3 тензор четвёртого ранга имеет З4 = 81 независимую компоненту. Поэтому для наглядности на плоскости набор этих компонент можно формально представить в виде матрицы 9x9:
(С ції C11122 Спзз Cl 112 Cl 123 Сизі Cl 121 Cl 132 Ci і із^
С2211 С2222 P ND CO CO ?2212 С2223 С2231 С2221 С2232 С2213
С3311 С3322 Сзззз С3312 CO CM CO б P CO CO С3321 CM CO CO б P CO CO
С\2\\ CM CM CM О о ND CO CO с 1212 CO CM CM о Cmi Сі221 CM CO CM о С1213
С2311 С2322 P CO CO CO ?2312 P CO ND CO P CO CO С2321 P CO CO ND P CO CO
С3111 С3122 CO CO С3112 С3123 С3131 С3121 CO ND С3113
С2111 ?2122 S5 CO CO ?2112 ?2123 С2131 С212І S5 CO ND С2113
C32Il C3222 C3233 C32I2 C3223 С3231 Сз221 С3232 C32I3
уСізп Cl 322 Ci333 С1312 Cl323 Сіззі Cl 321 Cl 332 Сізіз/
В силу того что Cijki = Cjikh последние три строки матрицы совпадают соответственно с её четвёртой, пятой и шестой строками, а в силу того что Cijki = Cijik, последние три столбца матрицы совпадают с её четвёртым, пятым и шестым столбцами. Следовательно, независимыми будут элементы, составляющие лишь верхний левый минор 6x6. Наконец, условие Cijki — CkHj означает, что этот минор симметричен относительно главной диагонали. Симметричная же матрица шестого порядка имеет 6* (6+1)/2 = 21 независимую компоненту.
Рассуждая аналогично, нетрудно установить, что в M2 тензор модулей упругости С имеет шесть независимых компонент.
Простейшие модели твёрдых тел
113
Обратный закон Гука, т. е. тензор-функция, обратная к (10.3), записывается в виде
Sij = JijklVkU или ? = J :а, (10.12)
где J = Jijkih (8) kj ®kk®h~ тензор упругих податливостей. Тензоры четвёртого ранга CnJ взаимообратны, т. е.
CijklJklmn = JijklCklmn = Aijmn, или С : J = J : С = А.
(10.13)
Аналогично (10.4) введём скалярный потенциал напряжений w (а):
1
такой что
Ifdw dw \ Ow 1Рч
Єтп= o n---------hO----- ’ ИЛИ (10.15)
2 \ UCrnn UGnrn ) 0(7
Тогда типы симметрии тензоров JhC совпадают:
Jijkl = Jjikl = Jijlk = Jklij• (10.16)
Отметим, что объекты GhJ являются материальными функциями (в данном случае материальными тензор-константами) определяющих соотношений (10.3), (10.12).
Если упругая среда изотропна, то компоненты Сфі представимы в виде линейной комбинации всевозможных свёрток символов Кронекера [36]:
Сф1 = ^SijSki + pfiikfiji + VfSuSjk- (10.17)
С учётом симметрии (10.10) необходимо в (10.17) положить /і = = //, так что компоненты тензора модулей упругости для изотропной среды имеют вид
Cijki = ^SijSki + /х(SikSji + SuSjk) = A SijSki + IfiAijki- (10.18)
Подставим выражения (10.18) в (10.3) и получим закон Гука для изотропного материала:
Gij = AOSij H- 2/JjEij, (10.19)
где в — дилатация (5.23). Коэффициенты А и /і, называемые постоянными Ламе, представляют собой независимые материальные константы определяющих соотношений (10.19) изотропного упругого тела.
8 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
114
Лекция 10
Разобьём тензоры деформаций и напряжений на шаровые части и девиаторы (см. (5.25)):
1
з1
Eij — OSij ^ij ч Cfij — CfSij ^ij і
1 (10.20)
О Ekk, Cf Ckk 0’ Skk 0.
Умножая обе части (10.19) на Sij, получим связь шаровых частей:
а=(\ + ^в = Кв, (10.21)
где постоянная К — модуль объёмного растяжения-сжатия. Умножая далее обе части равенства (10.21) на Sij и вычитая из (10.19), получим связь девиаторов s и е:
Sij = 2 /leij. (10.22)
Постоянную Ламе її называют также модулем сдвига.
Подставляя в (10.20) выражения в из (10.21) и е^- из (10.22), получим
?ij = Ш Sij + 2V Sij = 2fl{~ ЗЛ + 2aSij + aij) • (1 °'23)
Введём вместо X и її так называемые технические постоянные: E — модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона, из соотношений
А = ---------------^, и= п/Е . . (10.24)
(I + 1/)(1 -2i/)’ Р 2(1+ ^) ^ ;
В конце этой лекции будет выявлен механический смысл упругих постоянных E и za Пока же отметим, что для встречающихся в природе изотропных упругих сред коэффициент Пуассона меняется в интервале от 0 до 1/2.
