Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Величины, обратные Пі и Щ, в механике сплошной среды носят название чисел Рейнольдса (Re) и Маха (M). Если M < 1, то имеем дозвуковой поток газа, а если M > 1, то сверхзвуковой. Согласно П-теореме
F = pv2 а2Ф(их,U2) = pv2a2W(Re,M). (11.30)
Таким образом, безразмерная сила П зависит только от двух параметров (к — т = 5 — 3 = 2): Re и М. Если эффектом сжимаемости набегающего потока можно пренебречь (тогда речь идёт о вязкой несжимаемой жидкости), то у функции Ф остаётся один
134
Лекция 11
аргумент Re:
F = pv2a2&(Re). (11.31)
Как показывают эксперименты, проводимые в аэродинамических трубах, при малых скоростях обтекания сила сопротивления прямо пропорциональна скорости у. Из формулы (11.31) следует, что в этом случае ^r(Re) = CjRe, где С — константа. Имеем
F = Cfiva, (11.32)
т. е. при малых числах Рейнольдса сила F не зависит от плотности среды, поэтому такое обтекание называется безынерционным. Проводя единственный эксперимент и измеряя в нём все величины, входящие в (11.32), можно вычислить постоянную С. Она равна 67г. Выражение силы сопротивления при Re^Cl,
F = 67rfiva, (11.33)
называют формулой Стокса. Из неё, в частности, при fi = О следует парадокс Эйлера-Даламбера: при стационарном обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жидкостью и отсутствии источников и стоков главный вектор сил давления потока на тело равен нулю.
В данной задаче встретились два безразмерных параметра — Re и М. Число Рейнольдса по определению представляет собой величину, обратную безразмерной вязкости в базисе, состоящем из характерного линейного размера, характерной скорости и плотности. Число Маха — величина, обратная безразмерной скорости звука. В задачах, где существенно влияние силы тяжести, важную роль играет число Фруда Fr — величина, обратная безразмерному ускорению силы тяжести. В задачах, где имеется характерная частота и (например, в теории колебаний), вводят в рассмотрение число Струхала St, обратное безразмерной частоте. Если же в системе имеется характерная величина р размерности МЬ~1Т~2 (давление, упругие модули, предел текучести), то, будучи обезразмеренной в том же базисе, данная величина называется числом Эйлера Eu. Таким образом,
_ avp V _ V2 V _ р
Re =-----, M = -, Fr = —, St = —, Eu = —
fi с да иоа pvz
(11.34)
С теорией размерностей тесно связана теория подобия [51], лежащая в основе масштабного моделирования физических
Размерности физических величин
135
явлений. Метод моделирования состоит в проведении экспериментального процесса, подобного реальному. При этом подобными называются разномасштабные процессы, математическое описание которых различается только численными значениями входящих в них размерных величин. Безразмерные же параметры (критерии подобия) Пі,...,Щ_ш, являющиеся аргументами функции Ф в соотношении (11.17), для таких процессов одинаковы.
ЛЕКЦИЯ 12 ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Рассматриваемые системы характеризуются большим числом всевозможных параметров. Это плотность р, векторы перемещений и И скорости V, тензоры напряжений Р, JT, а и деформаций э, 7, г, массовые силы F и поверхностные силы S^n\ Каждый из параметров имеет определённую тензорную природу и размерность. Среди параметров существуют так называемые основные (F, D, ?, P И Т. Д.) И ИХ ПОТОКИ (jT, Р, а, р и т.д.). Первые из них называются обобщёнными перемещениями, а вторые — обобщёнными силами. Связь между первыми и вторыми задаётся с помощью определяющих соотношений (см. лекцию 9). При этом изменение работы внутренних сил записывается в виде
= - 7гт : dFdV, 5Л{І) = - (TijdeijdV, (12.1)
V0 у
ИЛИ
SA{i) = -dt
PijDij dV, SA{i) =
ppd-dV. (12.2)
P
'I3 <
V V
Среди параметров системы существуют такие, которые полностью характеризуют состояние системы, т. е. зная их, можно вычислить все остальные параметры. Эти параметры называются термодинамическими параметрами состояния. Если определяющие соотношения модели связывают между собой термодинамические параметры состояния, то они называются уравнениями состояния среды.
Для описания изменений параметров системы вводится понятие процесса. Это зависимость того или иного параметра от времени при некоторых условиях. Например, в упругой среде изменение со временем компонент тензора малых деформаций Eij при постоянной температуре называется изотермическим процессом деформации.
Если изменяется со временем термодинамический параметр состояния, то говорят о термодинамическом процессе. В случае,
Первый закон термодинамики
137
если такой процесс начинается и заканчивается при одинаковых значениях параметра состояния, то он называется термодинамическим циклом.
Большое значение имеет деление термодинамических процессов на обратимые и необратимые [14]. Обратимые могут протекать в любом направлении (значение параметров состояния остаётся прежним при замене t на —t). Необратимые процессы протекают только в одном направлении и описывают выравнивание температуры, давления и т. п.
В механике очень часто приходится иметь дело с неизотермическими процессами, т. е. с изменяемой со временем температурой, которая всегда считается термодинамическим параметром состояния. Для изучения таких процессов придётся рассмотреть основные законы феноменологической термодинамики. Будем считать, что понятие температуры интуитивно известно каждому читателю. Введём (также без строгого определения) понятие теплоты Q. Первый закон термодинамики (он имеет много формулировок) утверждает, что теплота есть вид энергии. На основе закона сохранения энергии полная энергия будет состоять из суммы механической и тепловой энергий. Механическая энергия в статике упругого тела описывается потенциальной энергией деформации (10.42):
