Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Po
////////////////////
P =
(12.30)
Vi
Если же это давление выше равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнёт двигаться вверх и, совершив некоторые возможные колебания, в момент “2” остановится в положении
/////////////////////////У
V2
V1
I
Рис. 43
V2, в котором давление р2 уравновешивает внешнее давление Pq. Кинетическая энергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдёт в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу:
^4-необр = Po(^2-Vi). (12.31)
Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счёт повышения внешнего давления Pq. Однако его нельзя сделать большим чем “равновесное” давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление Pq. Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно. Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовём обратимой:
Po(Y) dV = R0T
Vi
V2
ldV-R TlnV2 -у -R0TIn-.
Vi
(12.32)
Это наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для ро выражением (12.30), получим
^4-необр < Лэбр- (12.33)
142
Лекция 12
Каким бы способом не осуществлялся необратимый процесс между двумя фиксированными значениями объёма V\ и V2, в любом случае будет выполняться неравенство (12.33). При Po = 0 необратимая работа равна нулю (опыт Гей-Люссака), а работу (12.32) можно сделать бесконечной при неограниченном объёме.
Итак, необратимые процессы приводят к рассеиванию энергии, её диссипации. Был рассмотрен изотермический процесс. Процесс, происходящий без изменения тепла (8Q = 0) называется адиабатическим. Из (12.17) имеем
dE + pdV = 0. (12.34)
Чтобы процесс был обратимым, внешнее давление ро, действующее на поршень, должно, как и прежде, очень мало отличаться от равновесного давления, определяемого уравнением состояния (12.23). Однако теперь температура не является постоянной, поэтому из (12.34) и (12.22) имеем
{w)Tdv+{§)TdT + ’>iv = °- <12-35>
Для совершенного газа в силу (12.26) и (12.20) из (12.35) получим
cvdT + pdV = 0, (12.36)
откуда с учётом уравнения состояния (12.11) имеет место дифференциальное уравнение
dT „ dV T + ^
с первым интегралом
TV1^fcv = const. (12.38)
Введём обозначение 7 для показателя адиабаты:
7 = — . (12.39)
cv
Тогда уравнение адиабаты (12.38) на основании формулы Майера (12.29) переписывается в форме
TVr7-1 = const. (12.40)
Пользуясь уравнением состояния (12.11), можно получить уравнение адиабаты, называемой адиабатой Пуассона, в виде
PVryI = const, Ty1-7)/7 = const. (12.41)
cv—+ R^- = O (12.37)
Первый закон термодинамики
143
На рис. 44 показаны адиабата (12.40) р
и изотерма из уравнения состоя-
^Адиабата
ния (12.11).
Соотношения (12.40) и (12.41) показывают, что при адиабатическом сжатии газ нагревается. Этим пользуются для воспламенения горючей смеси в цилиндрах двигателя Дизеля. Охлаждение с помощью адиабати-
Изотерма
ческого расширения является одним 0 из способов достижения низких температур.
Рис. 44
V
Чтобы распространить полученные результаты на “реальные” газы, подчиняющиеся уравнению состояния (12.23), нужно воспользоваться соотношением (12.35):
Частным случаем уравнения состояния (12.23) является закон Ван-дер-Ваалъса
где а и b — некоторые постоянные. Можно рассмотреть не только изотермический и адиабатический процессы. Если в уравнениях (12.40) и (12.41) вместо показателя адиабаты 7 поставить произвольное число п > 0, то получим уравнение политропы. Например,
TVn~1= const. (12.44)
В этом случае необходимо использовать уравнение (12.17), которое запишем в виде
Вычислим величину dQ для политропного процесса. Из (12.44) имеем
(12.42)
(12.43)
dQ = Cv dT + р dV ф 0.
(12.45)
Vn~ldT+(n- l)TVn~2dV = 0, (12.46)
откуда
(12.47)
Поэтому
(12.48)
144
Лекция 12
Наконец, подставляя (12.48) в (12.45), будем иметь
Rq
dQ =
1
п — 1
AT.
(12.49)
Итак, количество тепла, подводимого к системе при повышении температуры на один градус, остаётся постоянным. Поэтому политропный процесс можно определить как процесс, идущий при постоянной теплоёмкости: Cy = const ИЛИ Cp = const. Постоянная величина в (12.49)
C = Cv-^- (12.50)
п — 1
принимает различные значения в зависимости от показателя политропы п. Она равна нулю только при п = cp/cv = 7.
Политропа на рис. 45 изображена штриховой линией и лежит ,Изохора между адиабатой и изотермой.
Заметим, что изобара (процесс при постоянном давлении) и изохора (процесс при постоянном объёме) получаются как частные случаи политропного процесса. В самом деле, при п = 7 имеем 0 ' адиабату (7 ~ 11
41 для атомарного газа), при п = 1 — изотер-рис 45 му, при п = 0 — изобару, при п =
= ос — изохору.
Заметим, что до сих пор рассматривались системы, находящиеся в равновесии. Если же учитывать движение данных систем, то необходимо принимать во внимание кинетическую энергию. Тогда формулировку первого закона термодинамики можно несколько изменить, воспользовавшись теоремой живых сил (7.20). Подставляя из (7.20) в (12.5) выражение 8А^г\ получим
