Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
X Длина волны.
Л Космологическая постоянная, pi Магнитная проницаемость, v Частота, р
Плотность.
р00 Собственная макроскопическая плотность энергии.
Ро Собственная плотность электрического заряда. а Электрическая
проводимость, т Период.
Ф Скалярный потенциал. Плотность энтропии.
Ф Термодинамический потенциал ф Ньютоновский гравитационный потенциал.
Векторные величины (жирный шрифт)
А Векторный потенциал.
В Магнитная индукция.
С Плотность тока проводимости.
D Электрическая индукция.
Е Напряженность электрического поля.
F Сила.
{ Сила, действующая на единицу объема, g Плотность импульса.
G Полный импульс.
Н Напряженность магнитного поля.
J Плотность тока.
М Момент количества движения. Намагниченность.
Р Электрическая поляризация, s Плотность потока энергии, и Скорость.
Тензоры (светлый шрифт с индексами)
Латинские индексы /, /, k принимают значения 1, 2, 3. Греческие индексы
с, р, ..., р, v , ... принимают значения 1, 2, 3, 4.
Iis Инвариантный интервал.
6(iv Галилеев метрический тензор.
F11 Сила Минковского.
Микроскопический электромагнитный тензор. fMV, //^Макроскопические
электромагнитные тензоры.
?nv Фундаментальный метрический тензор. g Детерминант | |.
VvОтклонение ?jivot галиеевых значений ?|xv
J*1 Обобщенный ток. Компоненты импульса и энергии.
Pij Компоненты (абсолютного) натяжения.
Тензор Римана - Кристоффеля.
/^Свернутый тензор Римана - Кристоффеля.
R Инвариантная кривизна.
t[j Компоненты (относительного) натяжения.
7'*1V Тензор энергии - импульса.
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
505
Тензорные плотности (готический шрифт)
Плотность тензора электромагнитного поля.
e?v=l^-(^v/=i).
Плотность вектора потока, й Функция Лагранжа (псевдоскаляр).
t ^Плотность псевдотензора гравитационной энергии - импульса.
•Е^Плотность тензора энергии - импульса материальной среды.
ПРИЛОЖЕНИЕ II НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Единичные векторы, параллельные осям i, j, k. (1)
Единичный вектор нормали к поверхности п. (2)
Разложение вектора по компонентам:
F = f,l + fyj+fak. (3)
Скалярное произведение векторов:
(А В) = АХВХ + АуВу + ABz = АВ cos (АВ). (4)
Векторное произведение векторов:
[АНВ] = (AyBz-ABy) i + {АВХ - АхВг) j + (АхВу ~ АВХ) к. (5)
Нормальная компонента вектора:
Ап ==r (A n) = A cos (Ап). (6)
Векторный оператор дифференцирования:
( д д , д \
V + ^+к'5Г • (?)
: j. • <!HL _l ь -
J)x ' I ду ! дг
(8)
дА 0A" dA divA = (vA)=-^r Л--Щ-¦ (9)
(dA dAu\ IdA c'A \ ivA dA \ rotA = [v-A] = ^-irJl + (k-5r--5^Jj 1 -,r
- -jy-jk. (10)
divrotA = 0. (11)
Лапласиан:
d2 , s2 a21
dx2 dy2 n~ дг2 rot rot F=grad div F -y2F, (13)
Д2 - VV = + dy-2 i- дг2)' (12)
506
ПРИЛОЖЕНИЯ
Теорема Гаусса:
f (y-A)do = j Anda.
С(дАх дА (ЭЛ \ Г*
J \_аГ+_а7 +~dTJdv = ) {Axcos(nx) + Aycos(ny) + Azcos(nz)}da-
Теорема Стокса:
J А • ds = J (rot А)п da.
(14)
(15)
Формула Грина:
J (ФУН - Ч5 У2ф) = J (Ф V4> - Ч1 Vф),; da.
V в
Еще одна интегральная формула:
J(А • rot В - В ¦ rot A)dv = - J[AXB]rt da. (17)
Оператор Даламбера:
1 <Э2 A / д2 <Э2 d2 1 д2
с2 dt2 j [дх2 ду2 дг2 с2 dt2]'
Решение волнового уравнения:
1 д2 \ 1 Г [со]
V2 - ]Ч> = (r). Ц(х,У, z,()= ~4FJ ~dv, (19)
где [о>] -значение со в топ же точке, что и dv, и в момент времени (t
- г/с).
ПРИЛОЖЕНИЕ III НЕСКОЛЬКО ФОРМУЛ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
а) Общие обозначения.
Индексыа, Р pi, v, ... принимают значения 1, 2, 3, 4,
Нижние индексы - ковариантные, верхние индексы - контравариантные,
Координатные системы:
х11 = х1, х2, х3, х4, x'ti=x'1, х'2, х3, х4 и т. п., (2)
где
х ^ = х |х(х1, X2, X3, X4).
Правило суммирования по немым индексам: а=4
АаВа = 2 Л"Ва = Л1В1 + Л2Д2 + Ami + Л<Вс
а=1 (3)
Л"РваЗ = °2 S' Л"РваР = АПВп + А1гВ1г + • • - 4- А**Ви
а=1 6=1
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
507
и т. д. Один из двух немых индексов всегда ковариантен, а другой всегда
контр-авариантен.
Определение тензора.
Множество 4Г компонент (ранг г равен полному числу индексов а, [3, ...
. -. , (.1, v, ... и т. д.), которые определены в данной точке
многообразия и при преобразовании координат преобразуются следующим
образом:
Лу й Лу У Лу7 Лу^
-т-'nv... _ _ ох ох т-ар...
дя* дх* дх'9 дх'а"
Примеры
Тензор нулевого ранга (скалярный инвариант):
S'=S. (5)
Контравариантный тензор первого ранга (вектор):
дх" дха
(6)
Ковариантный тензор первого ранга:
>' дх<Х "
(7>
Смешанный тензор второго ранга:
,v dx'v дх&
= (в)
Симметричный тензор:
= Tvp. (9)
Антисимметричный тензор:
F"v = - Fv". (10)
б) Фундаментальный метрический тензор и его свойства.
Метрический тензор:
Spiv (И)
Бесконечно малое приращение координат:
dx" = dx4, dx2, dx3, dx4. (12)
Скалярный интервал ds, соответствующий dx":
d^ - Snvdx"dxv. (13)
Детерминант, образованный из компонент g^:
g I 8pv |. (14)
Нормированный минор:
gUV _ Г^Н-v Iminor ^ ^
508
ПРИЛОЖЕНИЯ
Смешанный тензор:
7V=,6V = (1' *=V'
^ 41 |0, p^v.
Галилеев тензор
^(iv = + 1,0.
Символы Кристоффеля:
1 /^>ц(т . ^>v(j д8""
[jAV,a]= gxv т gxp, - gxa
(pv,a) - r^v 2 s \vdA:v+djt,i dxx Тензор Римана - Кристоффеля:
