Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Какова же судьба звезды, которой не удалось выбросить избыток барионов до того, как подойдет к концу термоядерная эволюция? Что случится, например, после взрыва очень массивной сверхновой со сколлапсировавшим ядром, состоящим из вырожденных нейтронов, если оно содержит больше чем Лмакс барионов? Такая сверхкритическая масса не может взорваться, поскольку является гравитационно связанной, и в ней исчерпана термоядерная энергия, которая могла бы высвободиться. He может она достичь и статического равновесного состояния, поскольку для таких больших масс подобного состояния не существует. Остается только одна возможность: сверхкритическая масса должна, катастрофически сжимаясь, уйти под свой «гравитационный радиус» г = 2М, оставив после себя в пространстве гравитирующую «черную дыру».
I
14 SI. Геометрия Шварцшильда
При радиусе г — 2 M
(«гравитационном радиусе» ) шварцшнльдов-скнй линейный элемент становится сингулярным
Явление коллапса под гравитационный радиус, как оно описывается в классической общей теории относительности, рассматривается в следующей главе. Однако, прежде чем заняться этим вопросом, необходимо составить себе более полное, чем в предшествующих главах, представление о шварцшильдовской геометрии пространства-времени вокруг черных дыр, а также вокруг кол-лапсирующих и статических звезд.
В этой главе затрагиваются два на первый взгляд не связанные между собой вопроса: падение пробной частицы в уже имеющейся геометрии Шварцшильда, которая рассматривается как статическая, но которую можно также представлять себе как оставшуюся от звезды, претерпевшей коллапс некоторое время тому назад, и вопрос о физическом характере шварцшильдовской геометрии как таковой. Метод пробных частиц является самым эффективным методом исследования этой геометрии. Ho на пробную частицу можно взглянуть и с иной точки зрения. Ее можно представить себе как частичку вещества, оставшуюся в процессе быстрого сжатия звезды от основной ее массы. При таком подходе пробная частица представляет собой простейшую иллюстрацию асимметрии в распределении вещества коллапсирующей звезды. Поэтому то обстоятельство, что асимметрия в этом случае сглаживается, позволяет качественно понять, каким образом сглаживаются более сложные типы асимметрии. Короче говоря, две такие, казалось бы, разные проблемы, как движение пробной частицы и динамика шварцшильдовской геометрии (а в дальнейшем станет ясно, что эта геометрия носит динамический характер), удивительным образом способны пролить свет одна на другую.
§ 31.2. ОТСУТСТВИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ НА ГРАВИТАЦИОННОМ РАДИУСЕ
Может показаться, что шварцшильдоЕская геометрия пространства-времени
№ = - (і - Ж-) dt* + + г2 (да + sin2 0 Щ*) (31.1)
обладает сингулярностью вблизи г = 2М, где gtt обращается в нуль, a gTr — в бесконечность. Однако без тщательного анализа нельзя с уверенностью сказать, является ли эта сингулярность линейного элемента следствием сингулярности самой геометрии пространства-времени или же она вызвана всего лишь сингулярностью системы координат (t, г, 0, ф) вблизи г = 2М. [В качестве примера такой сингулярности системы координат рассмотрим окрестность точки 0 = 0 на одной из инвариантных сфер t = const иг = const. Здесь #фф обращается в нуль из-за того, что система координат обладает сингулярностью, в то время как поведение,
§ 31.2. Отсутствие сингулярности на гравитационном радиусе 15
I
присущее сфере, не зависящей от выбора системы координат геометрии, в этом месте вполне нормально. Другой пример см. на фиг. 1.4 (т. 1).]
Область шварцшильдовской геометрии, где возникают указанные затруднения, г = 2М, называется «гравитационным радиусом», «шварцшильдовским радиусом», «поверхностью Шварцшильда», «горизонтом Шварцшильда», или, наконец, «сферой Шварцшильда». В некоторых более ранних работах эту область называют также «шварцшильдовской сингулярностью»; но такое название нельзя считать правильным, поскольку, как будет показано ниже, геометрия пространства-времени в этой области не имеет сингулярности.
Чтобы определить, является ли геометрия пространства-времени сингулярной на гравитационном радиусе, пошлем туда воображаемого первоначально удаленного наблюдателя, который должен составить описание локальных свойств этой геометрии. Для простоты пусть он находится в состоянии свободного радиального падения по направлению к гравитационному радиусу; при этом с ним постоянно связана сопутствующая ему ортогональная тетрада. Его траектория в пространстве-времени [«параболическая орбита», радиальная геодезическая в метрике (31.1)] задается следующими уравнениями:
w=-|(w)3/2+const’
-I (¦arf-2 (-гігГ+ь (31'2>
[Cm. § 25.5 и особенно вывод и обсуждение уравнения (25.38).]
Решая первое уравнение относительно г, получаем зависимость координаты г наблюдателя от собственного времени, измеряемого по часам наблюдателя, г (т). Решая второе уравнение относительно г, получаем зависимость координаты г от координатного времени г (*).
Из всех особенностей траектории наблюдателя выделяется одна: чтобы достичь гравитационного радиуса г = 2М, требуется конечный промежуток собственного времени, но бесконечный промежуток координатного времени:
