Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
который этот путь пройден, т.е.
S
п1.7 Изменение скорости со временем определяется ускорением :
ДгЗ
а =----
At '
В школьном курсе физики рассматриваются два вида движения: а = 0 и а =
const. В первом случае тело движется равномерно и прямолинейно (v =
const). В этом случае положение тела в любой момент времени можно описать
с помощью радиуса-вектора, который меняется по закону r(t) = ?0 + v0t,
где г0 - начальное положение тела. Например, при движении тела вдоль оси
ОХ его скорость vx = v0 = const, а координата меняется по закону x(t) =
х0 + vxt, где х0 - начальная координата. При а = const движение тела -
равнопеременное. В этом случае скорость тела и положение тела в
пространстве описываются формулами
at2
#(t) = v0 +at; r(t) = r0 (t) + v0t + -.
При движении тела, например, вдоль оси ОХ эти формулы будут иметь вид
a t2
vx№ = vox + М; x(t) = хо + voJ + ,
где vox- начальная скорость вдоль оси ОХ; ах - ускорение вдоль оси ОХ.
Аналогичный вид имеют формулы для скорости и координаты при движении
вдоль осей 0Y и ОZ:
a t2
%(*)= voy+ ауь; уУ) = у о + + -у- ;
6
zW ~ '"Oz 1 u'z*' " - '0 1 "Oz- 1 2
Уравнения для координаты и скорости позволяют решить любую задачу на
движение точки с постоянным ускорением. Уравнение для координаты часто
называют основным уравиеиием кинематики.
§ 2. Простейшие операции с векторными величинами
В механике часто встречаются с такими величинами, как скорость,
перемещение, ускорение, сила и т. д. Для полного описания этих величин
важно знать не только их числовые значения, но и направление в каждый
момент времени.
Любая величина, значение которой определяется не только числом, но и
направлением в пространстве, называется векторной. Мы будем обозначать
любую векторную величину буквой со стрелкой наверху: а. Длина
направленного отрезка, измеренная в определенном масштабе, равна
абсолютной величине вектора и обозначается |а| или а.
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и
направлены в одну сторону (рис. 1.2).
Сложение и вычитание <* = Ь векторов. Векторы складываются геометрически:
сумма
(а)
Рис. 1.3
двух векторов равна диагонали параллелограмма, сторонами которого
являются складываемые векторы. То есть, для того чтобы сложить два
вектора а и Ъ, их надо привести к одному началу, перемещая векторы
параллельно самим
себе (рис. 1.3, а). При сложении этих векторов можно пользоваться
правилом "треугольника". В этом случае к концу одного вектора приставляют
начало второго. Тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с
началом первого вектора, а конец - с концом второго вектора (рис. 1.3,
б).
Длину вектора суммы а + Ъ = с определяют по
(б)
теореме косинусов |с| =
а + Ъ
+ Ъ - 2ab cos а .
где а - угол между векторами а и Ъ.
Вычитание векторов можно представить как сложение с обратным вектором.
Действительна, разность векторов а и Ъ можно представить как с = 5 -Ь = 5
+ (-Ь), т.е. для нахождения вектора разности с нужно сложить два вектора:
а и - b (рис. 1.4).
Из рисунка видно: если начала векторов а и b совмещены, то вектор
разности с представляет собой направленный отрезок, начало которого
совпадает с концом вычитаемого вектора Ъ, а конец - с концом уменьшаемого
вектора а.
Скалярной величиной называется величина, значение которой определяется
числом, взятым со знаком "+" или "-". Примером таких величин могут
служить: путь, время, масса, модуль любого вектора и т. д.
Если какой-либо вектор умножим или разделим на число (скалярную
величину), то тем самым изменится длина взятого вектора в некоторое число
раз. При этом новый вектор направлен в ту же сторону, что и умножаемый
вектор, если число больше нуля, и в противоположную - если число меньше
нуля.
Разложение вектора. Операция замены любого вектора несколькими называется
разложение ем вектора на составляющие.
Любой вектор а, проведенный, например, из начала прямоугольной системы
координат, можно представить как сумму трех векторов:
5 = Йх+ЙУ+5г-
Векторы ах, ау, az являются составляющими
вектора а вдоль осей OX, 0Y, ОZ соответственно. Часто вместо составляющих
вектора пользуются понятием проекций вектора на заданные направления. Для
этого вводят единичные векторы
i, j, к вдоль осей OX, 0Y, ОZ соответственно (единичным вектором
называется вектор, модуль
9
которого равен 1). В этом случае составляющие вектора можно записать в
виде ах = iax, ау = jay,
az = каг (рис. 1.5). Величины ах, ау, аг - числа-
скаляры. Они называются проекциями вектора на координатные оси OX, 0Y,
ОZ. Величина проекций определяется по формулам:
а2 = acosy,
где а - модуль вектора а, а углы
а, 0, у - это углы между положительным направлением соответствующей
оси и вектором а, отсчитываемые против часовой стрелки. Другими словами,
проекция вектора на выбранное направление берется со знаком "+", если
направление соответствующего вектора совпадает с направлением оси, и со
знаком "-", если направления противоположны.
