Физика. Примеры решения задач, теория - Гомонова А.И.
Скачать (прямая ссылка):
VA =100 км/ч
vb =60 км/ч
L=120 км
*.=?
**=?
S=?
Совместим начало координат с городом А, а ось ОХ направим от города А к
В. Время будем отсчитывать с момента отправления обеих машин.
Так как автомашины движутся с постоянными скоростями, то их координаты в
любой момент времени определяются формулами:
xA(t) = xoA + vAt; xB(t) = x0B+-vBt.
В выбранной системе отсчета х0А = 0, ссов = L,
VA = VA> VB= ~VB > ТОГДа
XA(t)==VAt>a xB(t) = L-vBt.
16
В месте встречи координаты автомашин одинаковы, т. е.
ха(Ю = хв(*в) или vAte = L - vBte.
Тут следует заметить, что равенство координат выполняется только в момент
встречи, поэтому время t в последнем равенстве обязательно должно
употребляться с каким-либо индек-сом (например tg).
Решая это уравнение, определим время встречи
L
Место встречи (координату встречи) можно получить, пользуясь любым из
выражений для координаты. Подставив t = te, например, в первое из
уравнений, получим
= vAts = VA+ ~ .
VA+VB
Расстояние между автомашинами S в любой момент времени равно модулю
разности их координат:
S =|xB(t)-a:A(t)| = \L - vBt - vAt\ = |L-(wB +wA)t|.
Мы получили ответ на все вопросы задачи в общем (буквенном) виде. Теперь
можно подставлять числовые значения:
L
=120 км/(100 км/ч+60 км/ч)=3/4 ч=
va VB
- 45 мин;
17
sc"
vaL
VA + VB
= (100 км/ч-120 км)/(100 км/ч +
+ 60 км/ч) = 75 км.
Таким образом, автомобили встретятся через 3/4 часа на расстоянии 75 км
справа от города А.
Эту задачу полезно решить графически. Ответы на поставленные в условии
задачи вопросы мы сможем легко получить, если изобразим график
зависимости координаты каждой автомашины от времени (рис. 1.11).
Прямая I представляет график зависимости координаты от времени для
машины, выехавшей из города А. Строим ее таким образом: так как скорость
автомо-
биля г>А=100 км/ч (это расстояние, пройденное за 1 час), ТО ИЗ ТОЧКИ
3Cj=100 км
проводим прямую, параллельную оси времени; затем из точки tj=l час
восстанавливаем перпендикуляр, который пересекает эту прямую в точке "1"
(рис. 1.11). Через начало координат и точку "1" проводим прямую I. Это и
есть график движения автомобиля, выехавшего из пункта А. Тангенс угла
18
наклона этой кривой к оси времени численно равен скорости vA.
Прямую II строим аналогично, однако расстояние х2=60 км откладываем от
точки В, так как автомобиль выезжает из пункта В. Проводим прямую II
через точку В и точку "2" и таким образом получаем график движения
автомобиля, выехавшего из пункта В.
Точка пересечения прямых I и II позволяет определить время и место
встречи автомашин. Для этого из точки пересечения прямых опустим
перпендикуляр на ось времени Ot и ось координат ОХ. Точки пересечения
опущенных перпендикуляров с соответствующими осями позволяют определить
время и место встречи автомашин.
Из рис. 1.11 видно, что машины встретятся через 3/4 часа на расстоянии 75
км от города А.
Графически можно представить и как меняется расстояние между
автомашинами, пользуясь формулой
S = \L-(va + vb)i\ Рис. 1.12 (рис. 1.12).
19
В течение времени 0 - t, обе автомашины движутся одновременно, наклон
прямой S определяется величиной скорости (vА + vB). В момент t = te
автомашины встретятся. В момент t = t, =1,2 ч автомашина, выехавшая из
города А, прибывает в город В и останавливается (рис. 1.12). Машина же,
выехавшая из города Б, продолжает двигаться. С этого момента времени
расстояние между машинами определяется формулой S = |L - vBt\. Так как vA
=0, следовательно наклон кривой на графике, изображенном на рис. 1.12,
уменьшается (участок t, -12). В момент времени t=t2 =2 ч автомобиль,
выехавший из города Б, прибывает в город А.
Задача 1.5 Лодка переплывает реку, отправляясь из пункта А. Если она
держит курс перпендикулярно берегу, то через время t, после отправления
она попадает в пункт С, лежащий на расстоянии S ниже пункта В (рис. 1.13,
а). Если она держит курс с той же скоростью под некоторым углом а к
прямой АВ, то через время t2 лодка попадет в пункт В (рис. 1.13, б).
Определить: ширину реки I, скорость лодки и, скорость течения реки v и
угол а.
Решение. Приступим сразу же к выполнению 4-го пункта предложенного
алгоритма, т. е. к выбору системы отсчета (полагая, что первые три пункта
уже освоили). В этой задаче движение лодки в любой момент времени
описывается с помощью двух координат: a:(t) и y(t) (движение двумерное).
Начало координат удобно совместить с пунктом А, ось 0Y направить вдоль
прямой ОБ, а ось ОХ вдоль берега реки (см. рис. 1.13). В любой
20
момент времени уравнения для координат в обоих случаях запишутся:
fx{t) = vxt = vt; f x{t) = vxt = (v - и sin a)t;
| y{t) = vyt = ut; I y(t) = vyt = ut cos a.
Для моментов времени tl и t2 эти уравнения примут вид:
1) xity) = S = vty 3) x(t2) = (v - и sin a)t2 = 0
2) y{t J = I = utx 4) y{t2) = I = ut2 cos a.
21
Эти 4 уравнения позволят нам определить
4 неизвестные величины, требуемые в задаче.
Скорость реки v сразу же определяется из уравнения (1)
