Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в) Показать, что в кубической системе направление [hkl]
перпендикулярно к грани (hkl).
г) Доказать, что в кубической системе угол ф между нормалями к граням
(hikxlx) и (Л2&2/2) определяется формулой
тс Ф = Ми + Ма + Уа______
/(А?+*}+Ч)(А|+*!+Ч) '
д) Доказать, что в системе индексов hkil Миллера -Бравэ
h-\-k-\-i = 0.
1.2. У кристалла ромбической серы грань (hkl) лежит на пересечении зон
[230] и [041]. Были измерены следующие углы:
51°28' -между гранями (100) и (hkl)\
70°18' -между гранями (010) и (hkl).
Определить индексы грани (hkl), угол между (001) и (hkl) и осевые отрезки
а к с, если Ь= 12,94 А.
1.3. Показать, что в гексагональной плотноупакованной структуре металла
теоретическое отношение осей с/а = 2]/б73 = 1,633. Вычислить также
следующие углы:
ос -между (0001) и (lOll);
Р - между (0001) и (1121);
у -между (1011) и (0110).
1.4. Из теоремы Эйлера о возможных сочетаниях трех осей вращения,
проходящих через одну точку в трехмерном пространстве,
*) R. A. Sullivan (Bath University of Technology).
7
выведено следующее соотношение:
_ cos (С/2) + cos (Ар.) cos (fl/2)
- sin (Aft) sin (fl/2)
где с -угол между двумя осями симметрии с углами поворота, равными А и В.
Угол поворота для третьей оси симметрии равен С.
Используя это соотношение, определить, допустимы ли сочетания поворотных
осей симметрии 432, 532 и 643. В каждом допустимом случае указать,
сколько должно быть осей каждого типа.
1.5. Ленточными группами (линейными мотивами) называются двумерные
полосы, бесконечные в одном направлении и конечные-в другом. Зеркальные
плоскости симметрии могут располагаться вдоль полосы или перпендикулярно
к ней, а плоскости скользящего отражения возможны лишь вдоль полосы. Оси
симметрии второго порядка могут быть только перпендикулярными к полосе.
Сколько существует таких ленточных групп?
1.6. Вычислить постоянную Маделунга для бесконечной плоской сетки из
положительных и отрицательных ионов, показанной на рис. 1.6.1. Выразить
эту постоянную через расстояние между ближайшими соседями АВ.
Рекомендуется принимать во внимание ближайшие нейтральные группы ионов,
окружающих данный отрицательный ион, и в окончательном результате
ограничиться четырьмя значащими цифрами.
Вычислить далее полную энергию кристаллической решетки U, если имеется 2N
ионов на равновесных расстояниях г0, причем заряд каждого иона равен ± q.
Принять, что между ионами действуют кулоновские силы притяжения, а
потенциальная энергия отталкивания между ближайшими соседями равна К/гп.
1.7. Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в
следующих структурах: простая кубическая структура; объемноцентрированная
и гранецентрированная кубические структуры; структура алмаза. Пусть
четыре сферы касаются друг друга в вершинах правильного тетраэдра. Какая
часть тетраэдра заполнена этими сферами? Почему невозможно заполнить
пространство так плотно?
1.8. Исследовать, как расположены в пространстве три взаимно
перпендикулярные оси симметрии второго порядка в каждой из четырех
пространственных групп Р222, P222lt Р21212, Р212121.
1.9. Моноклинную пространственную группу Р21/с, изменив направление
осей, можно обозначить: P2jn.
8
- -0-(c)-0-(c)-G-(c)- 0- -
I I I I I I I
---(c)-0-(c)-0-(c)-0-(c)--I I I I I I I
-0-(c)-0-(c)-(c)-(c)-0-
I I I I л I I
-(c)_0-(c)-0cL(r)e-0-(c)-
I I I I I I I
--0-(c)-0-(c)-0-(c)-о--I I I I I I I
--(c)-0-(c)-0-(c)-о-(c)- I I I I I I I
-0-(c)-0-(c)-0-(c)-0-
Рис. 1.6.1. Плоская сетка из положительных и отрицательных ионов.
Как надо для этого изменить оси? С помощью какой матрицы можно перевести
индексы плоскости (hzk^), связанные с пространственной группой Р21/п, в
индексы (/ii&i/i), относящиеся к пространственной группе Р21/с? Показать,
что систематические погасания, присущие Р2г/с и /%/я, согласуются с этими
преобразованиями.
*1.10. Известно, что сегнетова соль (виннокислый калий - натрий,
NaKC4HeOe ¦ 4Н20) претерпевает фазовый переход при 24°С. Выше этой
температуры она заведомо имеет ромбическую пространственную группу Р2^2 и
не является сегнетоэлектриком. Предполагается, что ниже этой температуры
она принадлежит к моноклинной пространственной груйпе Р2^\\ и является
сегнетоэлектриком. Заметного изменения размеров ячейки в точке перехода
не обнаруживается.
Какие различия можно обнаружить на рентгенограммах, снятых выше и ниже
точки перехода? Что еще можно сделать, чтобы установить истинную
пространственную группу этого кристалла в сегнетоэлектрической фазе?
1.11. Запишем координаты эквивалентных общих положений для некоторой
пространственной группы:
X, у, г, х, д, г,
х, у, Z, х, у, 2,
1 , 1 , 1 , 1 1 1 I
"2 +Х' ~2+У' 2 +2' ~2~Х' ~2~У' 2 +г'
1 I I I . I . 1
2 *'2 У' 2 г' 2 2 2 г'
1 1 *. У. у- Z, X, д, ~2 2,
- 1 , 1 ,
*. У, у+ Z, *. у. ~2+г>
~2 '^1 2 ~2 1"^' 2
1,1 I I ,
~2+х> ~2 -У' г> ~2~Х' ~2+у' г'
Каков общепринятый символ этой пространственной группы? Какие
систематические погасания рентгеновских рефлексов можно ожидать для
