Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3.1. Ионные кристаллы состоят из положительно и отрицательно заряженных
ионов. Эти ионы сферически симметричны, а силами взаимодействия между
ними являются центральные кулоновские силы и некие силы отталкивания,
природа которых не может быть описана в рамках классической теории.
Поэтому выражение для энергии взаимодействия между двумя ионами
i и j в кристалле состава XY, образованном из ионов с зарядами + е и
-е, содержит два члена и записывается так:
"у=±-?-+4-. (3.1.1)
ги 'и
где rtj - расстояние между двумя разноименными ионами, а b и п -
эмпирические константы.
Измеряя гц в единицах расстояния г между ближайшими соседями, т. е.
полагая
rif = 0Llfr, (3.1.2)
и суммируя по всем ионам при j Ф t, находим энергию t-ro иона в поле всех
других ионов:
= + (3.1.3)
где
А = ? ± "i7. Я = * Ц (3.1.4)
1±'
Если рассматриваемый t-й ион заряжен отрицательно, то плюсы и минусы в
выражении (3.1.4) для постоянной Маделунга А относятся соответственно к
положительным и отрицательным ионам.
Из (3.1.3) вытекает, что полная энергия решетки U (г) кристалла,
содержащего 2N ионов, равна
и (г) = МШг = (3.1.5)
если предположить, что N достаточно велико, чтобы можно было пренебречь
поверхностными эффектами.
Показать, что энергия решетки U (г0). соответствующая равновесному
кратчайшему расстоянию между ионами г - гь, задается в виде
I3-1-6"
3.2. Определить показатель степени п в выражении для потенциала сил
отталкивания в уравнении (3.1.5) для кристалла NaCl,
*) J. L. Brebner, Е. Moose г (Cyanamid European Research Institute,
Geneva).
14
если известно, что сжимаемость этого вещества равна 3,3-1012 см2 дин'1,
постоянная Маделунга Л = 1,75, а равновесное расстояние между ближайшими
соседями г0 = 2,81 А. Абсолютная величина е заряда иона принята равной
заряду электрона: е = 4,8 -10-10 ед. СГСЭ.
Указание. Сжимаемость кристалла по определению есть
ТТ5Г- (3'21)
где V-объем кристалла, а р-давление. При 0°К dU = -pdV,
(3.2.2)
Выразить V через г0.
3.3. Как изменятся наименьшее равновесное расстояние г0 между ионами и
энергия U решетки NaCl, если заряд иона возрастет вдвое?
3.4. Член В/гп в выражении (3.1.5) для энергии решетки, соответствующий
силам отталкивания, часто заменяют членом Сехр(-г/р), вид которого легче
объяснить теоретически.
Чему равно расстояние между ближайшими соседями г0 = = г0(п, р), при
котором эти два потенциала отталкивания дадут одинаковые значения энергии
решетки?
3.5. Вычислить постоянную Маделунга А для линейной
цепочки равноудаленных ионов с чередующимися положительными и
отрицательными зарядами.
* 3.6. Ряды, с которыми приходится иметь дело при вычислении
постоянной Маделунга, сходятся условно. Следовательно,
если переставить члены, чтобы ускорить сходимость, то можно прийти к
ошибочному результату.
Показать, что ряд из задачи 3.5 можно заставить сходиться к любому
значению S, если перегруппировать его члены так, чтобы вероятность р
нахождения положительного члена в новом ряду была
п___ exp (2S) П fi П
Р 4 + ехр (2S) ' (o.b.lj
между тем как порядок членов одинакового знака останется неизменным.
Указание. Пусть 5" -сумма первых п членов переставленного ряда, среди
которых имеется k положительных и I отрицательных членов, причем
Пш - = р и lim - = 1 -р.
п -* СО Я п -* 00 я
Выразить Sn через сумму
Лщ = 1 + + ч + х "Ь • ¦ ¦ + = 1° я1 "Ь ^ -\- 'гт, (3.6.2)
15
где С = 0,577... - постоянная Эйлера, а остаток гт стремится к нулю при
т, стремящемся к бесконечности. Вывести уравнение (3.6.1).
3.7. Предложенный Эвьеном метод вычисления постоянной Маделунга состоит
в том, что кристалл разбивают на нейтральные группы ионов - "ячейки
Эвьена" - и последовательно суммируют вклады от этих ячеек в энергию
рассматриваемого иона. Разбиение кристалла на ячейки Эвьена производится
так, нто иону на поверхности ячейки приписывают дробный заряд, а величина
этой дроби определяется долей пространственного угла, вырезаемого
граничной поверхностью ячейки в том месте, где находится данный ион. Так
как потенциал нейтральной группы ионов с увеличением расстояния падает
быстрее, чем потенциал отдельного иона, метод Эвьена приводит к быстро
сходящимся рядам.
Применить метод Эвьена для вычисления постоянной Маделунга линейной
цепочки из задачи 3.5. Для этого случая удобной ячейкой Эвьена будет
ячейка, состоящая из иона и двух его соседей: у центрального иона заряд
равен ±е, а у двух соседних заряд следует считать дробным, равным ± 0,5е.
Выбрав исходный ион в центре цепочки из п ячеек, показать, что
суммирование по этим ячейкам даст приближенное значение постоянной
Маделунга Ап, отклонение которой 6" = (Л- А"\ от истинной постоянной
Маделунга А будет меньше, чем 1 /п2.
Кроме того, показать, что непосредственное суммирование по 2п ионам этой
цепочки без учета выделенного иона приведет
к менее точному значению А'п, так что отклонение &'п = \ А - А'п\ от А
будет меньше, чем 1/п.
3.8. На рис. 3.8.1 показана ячейка Эвьена (см. задачу 3.7) для структуры
