Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голдсмид Г. Дж. -> "Задачи по физике твердого тела " -> 7

Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.

Голдсмид Г. Дж. Задачи по физике твердого тела — Наука, 1976. — 432 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipofiziketverdogotela1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 147 >> Следующая

NaCl.
Найти приближенное значение постоянной Маделунга для NaCl, вычисляя
последовательно энергии выделенного иона, расположенного в центре куба,
состоящего из 1, 8 или 27 ячеек Эвьена.
4
Рис. 3.8.1. Ячейка Эвьена для структуры NaCl.
Рис. 3.9.1. Ячейка Эвьена для структуры CsCl.
16
* 3.9. Может показаться естественным рассматривать куб как ячейку
Эвьена структуры CsCl (рис. 3.9.1). Однако оказалось, что
электростатический потенциал в центре куба, содержащего (2п)3 таких
ячеек, отличается от потенциала в центре куба из (2п- I)3 ячеек на
величину, которая при возрастании п стремится к постоянному конечному
значению с.
Объяснить этот факт и найти с. Как можно, суммируя по ячейкам Эвьена,
показанным на рис. 3.9.1 и содержащимся в кубах с постепенно
возрастающими сторонами, все-таки получить приближенное значение
постоянной Маделунга? Найти приближенные значения постоянной Маделунга,
рассматривая кубы, содержащие по 64 ячейки Эвьена.
*3.10. При вычислении постоянной Маделунга по методу Эвьена можно
избежать неопределенностей типа описанных в задаче 3.9, если выбрать
ячейки Эвьена так, чтобы на гранях не было никаких зарядов.
Найти такую ячейку, содержащую "половину" молекулы в структуре CsCl.
Вычислить последовательные приближения постоянной Маделунга для CsCl,
суммируя по ионам в концентрических ромбододекаэдрах, содержащих 4, 32
или 108 ячеек Эвьена.
*3.11. Чтобы вычислить потенциал V иона в присутствии всех других ионов
кристалла, Эвальд предложил следующий метод, который приводит к быстро
сходящимся рядам.
К точечному заряду qj на месте каждого /-го иона, не совпадающего с
фиксированным i-м ионом, добавляется гауссово распределение заряда
(гауссовы заряды)
Р/ (г) = - <7/ (л/я)3/2 ехр (- цгг) (3.11.1)
с общим зарядом -q}\ tj - подгоночный параметр, определяющий ширину
гауссова распределения. Вклады от точечных и гауссовых зарядов во всех
местах, где j ^ t,
приводят к потенциалу
/ VY4
r-2-f(•- \
1 ' О
на i-м месте.
Далее с помощью разложения в ряд Фурье можно легко получить потенциал V"
на t-м месте, обусловленный второй совокупностью гауссовых зарядов +<7/
на всех местоположениях ионов:
у"=ir 2124i ехр ik'г,) Л_а ехр I ~ тг)}' (3-11 -3)
exp (- sa) ds
(3.11.2)
17
где ft -вектор обратной решетки, умноженный на 2л, и где единичная ячейка
объема D, связанная с каждым узлом решетки Бравэ, содержит ионы с
зарядами qt в местоположениях, отстоящих на rt от узла решетки.
В величину V" входит вклад V'" от второй совокупности гауссовых зарядов,
расположенных в t'-x положениях:
V," = 2qiV:^in. (3.11.4)
Следовательно, искомый потенциал равен
+
Ywlf
V=V'+V"-V"' = ^f- 1- j exp (- sa) ds
+1? 212qiexp ik ¦k~2exp (- ^~ 2q' (я)1/2J- (3'11 -5)
Преимущество этого метода перед другими при суммировании в решетке
заключается в том, что при разумном выборе параметра rj оба ряда в
уравнении (3.11.5) быстро сходятся.
Проверить выражения (3.11.2), (3.11.3), (3.11.4) для различных вкладов в
искомый потенциал.
а) Найти приближенное значение постоянной Маделунга для CsCl,
ограничившись суммированием только по ближайшим соседям (первая
координационная сфера), представляя векторы к как 2п/а\±\, 0, 0) и
положив т)= 16/За2.
Обобщить вычисления на случаи, когда:
б) включаются следующие соседние ионы (вторая координационная сфера),
а векторы ft = 2л/а(± 1, dbl, zb 1);
в) включаются третьи соседи (третья координационная сфера), а векторы
ft = 2п/а (± 2, ±1, 0);
г) проделать те же вычисления для NaCl, учитывая ближайших и следующих
за ближайшими соседей, а векторы ft представляя в виде 2л/а(±1, ±1, ±1) и
2я/а(±3, ±1, ± 1). Параметр т) положить равным 16/0(r). Учесть, что векторы
обратной решетки ft, использующиеся при вычислении постоянной Маделунга,
для NaCl и CsCl могут оказаться неодинаковыми.
3.12. Для большинства ионных кристаллов показатель п в потенциале
отталкивания велик (см. задачу 3.2), так что в первом приближении можно
рассматривать положительные и отрицательные ионы в таких кристаллах, как
жесткие шары с радиусами г+ и /¦_ соответственно.
Из формулы (3.1.6) следует, что в такой модели жестких шаров решетка
определена только энергией Маделунга - Ае2/г0, где г0 - кратчайшее
равновесное расстояние между центрами разноименных ионов. На первый
взгляд может показаться, что из структур, соответствующих составу XY,
единственно устой-
16
* 3.9. Может показаться естественным рассматривать куб как ячейку Эвьена
структуры CsCl (рис. 3.9.1). Оянако оказалось, что электростатический
потенциал d центре куба, содержащего (2л)8 таких ячеек, отличается от
потенциала в центре куба из (2п- I)3 ячеек па величину, которая при
возрастании п стремится к постоянному конечному значению с.
Объяснить этот факт и найти с. Как можно, суммируя по ячейкам Эвьена,
показанным ка рис. 3.9.1 н содержащимся в кубах с постепенно
возрастающими сторонами, нсе-таки получить приближенное значение
постоянной Маделунга? Найти приближенные значения постоянной Маделунга,
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed