Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 15.3. Подстановки операторов и с-чисел, преобразующих Ai(u, v) в
оператор Aq и с-функцию Ас 191
Диапазон изменения параметров
«з
N N
аеС, |ieC
«+
л/N
а = ц N
а
а
»~W
v* = г sin де+,ф
v = г sin 0е 1ф
г cos 0
Ф е [0, 2п]
(0, Ф) е= S2
0 е [0, я]
46
Глава 15
На функции h, Hq, he налагаются следующие условия [9]:
1. h — полином конечной степени по всем аргументам. Это условие необходимо для строгого доказательства классического предельного соотношения
2. Оператор hQ эрмитов (квантовомеханическое требование);
3. he имеет конечную нижнюю грань как функция [j, е С для (г, 0, </>), принадлежащих сфере радиусом 1/2 (гарантия существования предела Eg/N = min he);
4. h(u3, u+, и_; y3, v+, v-)= h(u3, —u+, —u~, —v3, —v+, —v~) (такая симметрия подавляет катастрофу складки и позволяет «прорасти» катастрофе сборки А+3, которую можно локализовать методами дифференциального анализа);
5. hc принимает минимальное значение при р, == 0, когда v = 0. (В предельном случае высоких температур как атомная подсистема, так и поле неупорядочены.)
6. dh/dV3 <Z 0 при и = 0, v = 0. (В высокотемпературном состоянии 0 = 0.)
Пример. Подставляя в функцию
операторы из табл. 15.3, можно получить модель Дикке.
Поведение моделей этого класса при высоких температурах определяется минимизацией Ф или РФ при постоянной температуре:
В силу условий 4—6 последнее выражение принимает минимальное значение при (i = v = 0 (0 = 0) в области достаточно высоких температур. Эту функцию остается минимизировать по г:
Откуда следует соотношение между г и Г.
Ветвь [j, = 0, v = 0 всегда является критической точкой функции Ф(Р). Бифуркации от этого множества решений («тепловая ветвь») определяются вырожденными критическими точками на этой ветви. Эти точки находятся путем выделения членов второй степени в малых членах ц, jn*, v, v* разложения he в ряд Тейлора вблизи тепловой ветви. Такие члены возникают только из членов h, которые линейны по и3; имеют вторую степень по и±, и±; имеют произвольную степень по v3. По этой причине достаточно рассмотреть росток h вблизи и = 0, v= (у3, 0, 0)
h (и, v) = — h<a«3 + ei»3 + А. (u+v_ + “_0+) (15.110)
F
= min hQ — p 6{r).
(15.111)
Л- [a (0, 0, 0; т cos 0, 0, 0)e=Q - (r)] =
Квантовая механика
47
второй степени по и±, v± и первой степени по «3. Этот росток имеет вид
dh , 1 ™ , 1
ды3
где
“ d2h дгН
hCK = h 4- «з + -5* М+АМ + rM+BD 4- 4 r2D+CD, (15.113)
М
да+ ди_ да+ ди+
d2h d2h ди_ ди_ ди_ ди+ _
(15.114)
Все производные вычисляются при и = (0, 0, 0) и v = (и3, 0, 0). Подстановкой операторов из табл. 15.3 из этой функции можно получить оператор (Ack)q- Его можно с полным основанием назвать каноническим ядром исходного оператора Гамильтона hQ, поскольку он определяет ветвление упорядоченных состояний от тепловой ветви оператора hQ.
Классический предел этого канонического ядра получается подстановкой с-чисел из табл. 15.3. Росток классического предела легко получается после подстановки с-чисел, при этом следует учитывать, что
/ 1 v*v \ 1 (v*v \ dh„
Лс = (о, 0, 0; г-т —, 0, о) = /гс-т(15.115)
где опять же все производные вычисляются при и = (0, 0, 0), v = (г, 0, 0). До членов второй степени функцию hc можно представить в виде (N = rD):
hc = h + ~Mf (-§^I2 + a)m'+M*BN + ±N'X
х(-4г-Ё;^+с)ы- <15-116>
Стандартными преобразованиями эту запись можно выразить через одну пару параметров порядка ц, ц* или v, v*:
Нс-к=\№{4^12 + А-в>(-±^1, + с)-'в}м,
(15.117а)
ч W '*+с - '*+ЛГв к <15л 17б>
Условие бифуркации состоит в том, что одно из собственных значений любой из этих матриц обращается в нуль. Это условие определяет критическое значение гс, при котором происходит бифуркация от тепловой ветви. Соответствующая критическая температура определяется из условия минимума (15.112):
^ I ит I „ * + ^ГС /1 Г 1 1 о\
48
Глава 15
Пример. Функция h и ее каноническое ядро
А = — А(о«3 + Я (u+v_ + и_и+) + xv+v_ + hCK = — A(ou3 + Я (tt+w_ + “_и+) + hv+v_ определяют фазовый переход второго рода из (15.117) при
dh t dh
-т—= па, -г—= — е, ди3 йи3
Л = 012, В = Я/2, С = х/г.
Критическая температура определяется из (15.118), где
efito
Г° Я5* — ИЙ(0 ‘
10. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
До сих пор все наши усилия были направлены на изучение статических свойств класса гамильтонианов, введенных в разд. 3. При изучении статических свойств (Eg/N, F($)/N) мы воспользовались некоторым вариационным Принципом. Динамические уравнения движения также можно получить, исходя из некоторого вариационного принципа, предусматривающего «минимизацию» интеграла действия
