Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
Произвольное возмущение, нарушающее симметрию, часто сильно усложняет решение уравнений VK = 0 или F = 0. Тем не менее качественно возмущенная система отличается лишь адиабатически от исходной системы. Свойства устойчивости возмущенной ветви в морсовской критической точке идентичны свойствам устойчивости невозмущенной ветви. При возмущениях не изменяется кратность критических точек, ни равновесных, ни стационарных1). По этим причинам исходная симметризованная задача дает достаточно хорошее начальное приближение, на основании которого достаточно просто качественно оценить влияние возмущений. Фазовые переходы второго рода, имеющие место в симметризованных моделях, под воздействием возмущений исчезают, однако фазовые переходы нулевого и первого рода оказываются структурно устойчивыми.
Проиллюстрируем теперь, каким образом теория катастроф может углубить наше понимание физических поцессов, свойства которых были получены и исследованы методами анализа бифуркаций. Это можно сделать на примере динамических стационарных свойств системы, описываемой моделью Дикке и находящейся в состоянии, далеком от равновесного. Если в уравнениях состояния (15.146) появляются только изолированные сборки, то можно получить универсальное возмущение исходной квантовомеханической модели (15.144), вводя по одному члену, нарушающему симметрию, для каждого направления
висимых параметров порядка, то соответствующее возмущение такой размерности будет универсальным. Можно, например, ввести одно классическое внешнее поле с амплитудой ац ^N для каждого атомного резонанса. Или же можно ввести один классический ток //г = Jn/N для каждой моды электромагнитного поля. Введение этих возмущений следующим образом изменяет стационарные уравнения движения, выведенные для расширенной модели Дикке:
ветвления. Поскольку всего имеется
неза-
(15.1461): \ц ->Уц -f /<•/>
(15.146П): Цц->Цц-\-а,1,
(15.146iii): ц/г ->ц/г + а/г.
(15.1531)
(15.15311)
(1Б.153Ш)
*) В отсутствие непрерывной калибровочной инвариантности.
Квантовая механика
59
Совершенно не важно, как нарушается симметрия: введением только классических полей, или только классических токов, или любой независимой комбинацией r(r—1)/2 классических полей и токов. В абстрактном математическом смысле эти возмущения эквивалентны, и при соответствующей интерпретации а/; = а;г (//;) . приводят к эквивалентным физическим последствиям.
Осуществляя повторный переход для (15.153) от (15.146) к (15.147), можно получить упрощенную систему уравнений состояния. Проделаем это для следующих возмущений: а^ — а*ц (произвольное), jji — Tii — O. Чтобы избежать расходимости и в силу ряда более глубоких причин (см. ниже), исключим параметры \ij. Тогда уравнения состояния принимают вид
Полезный частный случай этих уравнений для r-уровневых систем получается при г = 2, т. е. когда имеется одна резонансная мода, и описанную здесь общую модель можно сравнить с изученной ранее [25, 26]. Для такого сравнения удобно ввести следующие обозначения:
Я21 — A, Y21—Ya> Yu — Y22 — Yz> Y21— Ya-Без потери общности можно считать все эти параметры дей ствительными. Тогда уравнения (15.154) сводятся к
Это уравнение третьей степени по параметру порядка ц, что не удивительно, поскольку исходная симметризованная система описывается кубическим уравнением состояния. Уравнение
(15.156) можно привести к каноническому виду катастрофы сборки:
^Yi/V/iV/i + I ht fO-i/i + «/г) Кг — v;7) = 0, (15.154i)
k
М-21 — Ич a21 — a> V11 —V22 —
(15.155)
Ь2УоУа» + V (I* + “){<Oe + 4(x (li + a)~*j = 0. (15.156)
(15.157): jc3 + Ax + B = 0, (15.157i)
1 2
x — |i + 3- a,
A = - 4-a2 + {(a% + , (15.157П)
60
Глава 15
Уравнение (15.157) дает универсальное возмущение уравнения состояния для симметризованного двухуровневого.лазера. Физическими управляющими параметрами являются инверсная заселенность <az)c и внешнее поле а. Механизм накачки, описываемый членом <сгг>, не сохраняет фазовой информации, а внешнее поле, описываемое членом а, сохраняет ее. Следовав тельно, физические управляющие параметры можно интерпретировать как скорость некогерентной и когерентной накачки соответственно.
Уравнение состояния (15.156) можно изучать в терминах его канонического представления (15.157). Преобразование, связывающее физические (<af)c,a) и математические (А, В) управляющие параметры, обратимо (по меньшей мере локально). Поскольку единственное состояние в однозначном режиме устойчиво, то верхние и нижние листы в многозначном режиме также устойчивы, а центральный лист неустойчив. Любая точка на ~устойчивой части критического многообразия может быть достигнута путем соответствующего выбора управляющих параметров А, В или <сгг)с а (и процесса, по крайней мере математически). Физически доступная область ограничена" неравенствами —1 ^ <аг>с ^ 1.
