Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
В типичном физическом процессе в каждый момент времени меняется только один физический управляющий параметр. Например, может отсутствовать внешнее поле (а = 0). Если скорость некогерентной накачки растет, стационарное состояние системы остается неупорядоченным (х = (i = 0) до тех пор, пока инверсная заселенность не достигнет величины
(*г)с = (еп)с-Ыс = - (15.158)
При этих условиях вероятность заселения для возбужденного уровня |2> выше, чем для основного уровня |l)(e2>ei) на h2\aya/X2,- поэтому для перехода к упорядоченному стационарному состоянию (лазерное излучение) необходима инверсная заселенность. Поскольку разность вероятностей заселенности не превосходит единицы, условие возникновения фазового перехода порядок — беспорядок имеет вид X2 > h2yaya. Никаких фазовых переходов не будет, если связь X слишком слаба или диссипация (Яст, v<j) слишком велика.
Если инверсная заселенность <az>c остается постоянной, а внешнее поле возрастает от нуля, траектория Л (<аг)с,а), В((ог}с,а) в пространстве управляющих параметров представляет собой линию, изображенную на рис. 15.9.
Если скорость некогерентной накачки сохраняется ниже пороговой, то траектория может уйти влево или вправо от точки сборки в .зависимости от величины отношения Q =>
Квантовая механика
61
Рис. 15.9. Траектория управляющих параметров, представляющая собой криволинейный путь, если инверсная заселенность остается ниже пороговой, а классическое поле а возрастает.
Состояние лазера можно определить, перенеся этот путь на многообразие катастрофы сборки. Фазовый переход первого рода в случае Q> 1 происходит, когда траектория управляющих параметров пересекает соответствующую кривую складки.
= №(ог}с/8Ь2уоУа- Если Q< 1, траектория уходит влево от точки сборки и не происходит никаких фазовых переходов. Если Q > 1, то траектория поворачивает вправо вокруг точки сборки и в конце концов пересекает левую линию складки. Эти два качественно различных типа траекторий разделяются сепаратрисой, определяемой равенством Q=l. Такая траектория проходит сквозь точку сборки.
В случае Q > 1 фазовый переход происходит, когда скорость некогерентной накачки <ог)с постоянна (в частности, отсутствует), а скорость когерентной накачки а возрастает. Когда а возрастает и точка (А, В) пересекает левую линию складки, происходит фазовый переход нулевого рода, при котором система перескакивает с нижнего листа на верхний. Если затем а начинает убывать, состояние системы должно вернуться на нижний лист при пересечении правой линии складки. Если применим принцип максимального промедления, ь поведении системы проявляется гистерезис.
Эксперименты такого рода проводились Гиббсом, Мак-Коллом и Венкатесаном [27]. Пары натрия в полости Фабри — Перо, настроенной на одну из D-линий, облучались настраиваемым лазером, немного отстроенным от резонансной частоты. Мощность излучения полости сравнивалась с мощностью па-
62
Глава 15
?
250 500
мВт/см а
Рис. 15.10.
а — экспериментальные данные, полученные авторами работы [27] (свидетельствуют о наличии гистерезнсного цикла); б — зависимость выходной мощности лазера от мощности внешнего классического поля для модели (15.158) при Q = 1,6.
дающего излучения, т. е. (ц + а)2 = (х + у а) с а2. На
рис. 15.10 приведены результаты сравнения экспериментальных кривых с расчетами по данной модели для случая Q= 1,6.
Стационарное состояние лазера описывается точкой на критическом многообразии катастрофы сборки при любой комбинации когерентного и некогерентного излучения. Каждая точка на этом многообразии определяет средние значения полевых и атомных операторов. Эти значения можно использовать для построения редуцированных операторов плотности для атомарной и полевой подсистем. Таким образом, каждая точка на многообразии катастрофы сборки определяет оператор плотности для системы. Эти операторы плотности можно использовать для определения флуктуаций, таких, как <(az — <ог>)2>. Вблизи фазовых переходов эти величины аномально велики (гл. 9, разд. 8).
Скорость считывания экспериментальных данных превосходила время затухания системы. Таким образом удалось избавиться от спинодальных линий (пределы устойчивости), окружающих фазовый переход первого рода, происходящий при ?} = 0. Такое явление имеет место, если поведение системы подчиняется принципу Максвелла. Это в свою очередь возможно, когда время одного цикла эксперимента превосходит постоянную затухания. Эти временные константы мо'жно определить из потенциала V, связанного с уравнением состояния (15Л67), и величины флуктуайий относительно локально устойчивых равновесных состояний. Постоянная затухания выражается через эти величины формулой (8,31),
Квантовая механика
63
13. выводы
В данной главе методы и результаты теории катастроф были использованы для описания квантовомеханических систем. При этом мы не рассматривали квантовомеханические системы общего вида, а ограничились некоторыми частными случаями систем, содержащих большое число одинаковых подсистем (например, молекул, атомов, нуклонов). Хотя описание таких систем должно быть по своей сути квантовомеханическим, наличие большого количества отдельных подсистем означает, что соответствующие усредненные операторы почти коммутируют. Чем выше степень коммутативности этих операторов, тем лучшего начального приближения можно добиться при анализе таких систем классическими методами.
