Прикладная теория катастроф Том 2 - Гилмор Р.
Скачать (прямая ссылка):
<О) = (0)е-Ш. (15.140)
Анализируя уравнение движения Гейзенберга, можно найти значение угловой скорости со. Если
{[О, Ж]) = /Ко (О) + другие члены, (15.141)
то коэффициент й© при <С> в правой части (15.141) можно рассматривать как аналог угловой скорости На/Н.
Стационарное состояние системы можно получить, положив все производные по времени равными нулю. Однако так можно поступить только после того, как все «высокочастотные» временные зависимости выделены из средних значений неэрмито-вых операторов. Тогда феноменологическое уравнение для среднего значения оператора <??> (знак тильды для краткости опущен) принимает вид
— ihyg{(7)c = — ihyg(0) + другие члены. (15.142)
Это уравнение можно непосредственно получить из уравнения движения Гейзенберга для <??> с помощью очень простого алгоритма:
1. ih (d/dt) (О) = Лео (О) + Другие члены
Феномено-
логически
Феномено-
логически
Тождественно (15.143)
2. — ih.yg{(J)c'= — ihyg(0) + Другие члены
ООО Для многих систем состояние, далекое от равновесного, можно охарактеризовать параметрами порядка, являющимися средними значениями неэрмитовых операторов. В равновесных условиях эти значения равны нулю и остаются таковыми при медленных отклонениях от положения равновесия. Ненулевые значения средних этих операторов сдвига имеют непосредственное отношение к фазовым переходам. Такие переходы переводят систему с «ветви термодинамического равновесия» на другую упорядоченную ветвь.
ООО Уравнения состояния системы в термодинамическом равновесии однородны, в то время как уравнения для системы с внешним воздействием неоднородны. Эти неоднородности возникают исключительно из-за феноменологического члена вида
Особый интерес для нас представляет описание стационарного состояния лазера. Лазер весьма интересен в связи с тем, что он является системой, далекой от равновесного состояния и претерпевающей фазовые переходы, когда накачка энергии
84
Глава 15
в лазер происходит быстрее, чем эта энергия может рассеиваться только за счет релаксации. Мы уже видели, что модели Дикке представляют собой удобный инструмент для изучения лазеров, поэтому перейдем к исследованию свойств описываемых расширенными моделями Дикке существенно неравновесных систем.
Для таких моделей
г г г
Ж= ЫцОУцОц + e.Eit + —-т= Я;..а|г?'./+ Я/(а/(.?/г.
i<;</ i=i 1 <(</
(15.144)
Коммутатор Ж с многочастичным, усредненным многочастичным или одночастичным оператором является оператором того же типа. Если в качестве переменных состояния выбрать средние значения одночастичных операторов и усредненные операторы ц/г = (а;г/УЛГ), vil = (Eii/N) = (efjl), то уравнения движения Гейзенберга для этих операторов имеют вид
+ XjiVij,
»A*iy = (е/ -8/)vty + (v« ~ v//)> (15-145)
ih^il = hp'lFil ~ A>/<V
Феноменологические уравнения движения непосредственно строятся с помощью описанного выше алгоритма. При этом делаются следующие предположения:
постоянные времени для ц/,-, v,-y, vn равны уц, уц, уц\ механизм накачки изменяет вероятности заполнения энергетических уровней атома, но не сохраняет фазовой информации. Тогда сжатые средние значения операторов сдвига равны нулю. В случае сильного рассеяния энергии или слабых взаимодействий величина у и ~ (v,-,)с является вероятностью заполнения f-ro индивидуального уровня.
С учетом этих предположений феноменологические уравнения могут быть записаны как
О = —ihyaVLji + %цУц, (15.146i)
О = ~ ibytlvt, + Огг - v„), (15.14611)
— ihyti iyu)c “ - ih4 uvu + {S. ~
“ { KuWik - gt KuWm}- (15.146iii)
Эту систему уравнений можно редуцировать следующим об< разом:
1) выразить ц/i из (15.146i) через v,,-;
Квантовая механика
55
2) подставить полученное выражение в (15.146П) и (15.146iii) и исключить из этих выражений ц/г,
3) выразить (va — vji) (15.146iii) через параметры порядка Vi/ и параметры накачки (vu)c—(v//)c-
В результате получаем следующую систему уравнений состояния:
V«{ЛЗДн-НРО, К/. (15.1471)
V,, - V,, = (»,,)„ - (V, + 2 ? 0 <*, О Щ*)1’ -
k
k
Здесь нет суммирования по немым индексам, все суммы показаны явно. Функция 0 обладает следующими свойствами:
Q(k, i) — — 1, k < i,
= 0, k = i, (15.148)
= +1, k > i.
Предполагается, что в условиях термодинамического равновесия средние значения всех операторов перемещения равны нулю. Если в отсутствие накачки состояние системы упорядочено, то предположение 2 (см. стр. 54) следует изменить. Тогда средние значения — это вероятности заполнения, определяемые соотношениями
