Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Справедливость формулы (10) теперь вытекает из следующей леммы.
Лемма 1. Если Ьп, п = 0, 1, ..., —последовательность не-
Ь д.
отрицательных чисел и ------------>-0, то для произвольной сходя~
? bs
s = О
щейся последовательности сп, п = 1, 2, ...,
lim fe -----------= lim cn
N oo n->oo
L bk
k = 0
Доказательство. Если c — limcn, то
N
Z bkcN-k fe=0 ______________
N
Z bk
k=0
N — n N A'
Z Mc;v-*-c) Z bk Z
.*=°__-------------+ -------------------------------. (11)
Z 6* z 6*
k—Q jfeeO
Если номер м выбран так, что при п' ^ п имеем | с — сп> | < е, где е ;> 0 произвольно, то первое слагаемое в правой части равенства (И) меньше е. При фиксированном п второе и третье слагаемые также стремятся к 0 при N-^-oo, так как сп ограничены. Это доказывает лемму и вместе с тем равенство (10), так как условия леммы всегда применимы к рассматриваемому случаю, ибо р(п>(/, г) ограничены. Щ Из формулы (10) вытекает
Теорема 6. Внутри возвратного класса G (i, /) = +, °°; если же j невозвратно, то G (i, /) < оо при всех i.
200
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
Действительно, если j — невозвратное состояние, то знаменатель в левой части соотношения (10) стремится к конечному пределу, а поэтому и предел числителя конечен. Если же / возвратно, то предел знаменателя равен оо; если F(i, /) > 0, то и предел числителя также равен оо. в
Периодичность. Заметим, что если р("> (t, t)>0, то также p№«)(i',f)>0. Действительно, /?(ftn)(M)^ p<n>(i,i)/j<n)(i,i).. .р<п>(/,?). Обозначим через d(i) наибольший общий делитель всех’ п, для которых p("5(i, t) > 0. Если р<и>(г, t') = 0 для всех п ^ 1, то будем считать d(i)*= оо.
Теорема 7. ?слы i *—>¦ /, то d(i) = d(/).
Доказательство. Во-первых, если i«-»-/, то d(i) и d(j) конечны. Пусть р<8)(/, г) > 0. Найдутся некоторые п> 0 и m > О такие, что p<n)(t, /) > 0 и р(т)(/, 0 > 0, так что р(и+т+8)(/,/) ^ ^ р(га)(/, i)PU)(h t) р<7г> (t, /) > 0. АнаЛОГИЧНО pfn+m+fcs)^ yj •-> д. Поэтому d(j) делит (гс + m -f 2s)— (гс -f m -f s) = s. Отсюда вытекает, что d(j) sg: d{i). Из симметрии ролей i и / вытекает d(i) = d(j). В
Следствие. В каждом классе сообщающихся состояний величина d(i) постоянна.
В частности, для неприводимой цепи Маркова величина d — d(i) не зависит от состояния.
Определение. Если в неприводимой цепи d = 1, то цепь Маркова называется апериодичной; если d > 1, цепь называется периодической, а число d — ее периодом.
Теорема 8. Если d(i)<i оо, то найдется такое nQ, что при п>п0
рш («)) (д I) > о.
Доказательство. Пусть пи {k—l,2, ..., s) — последовательность чисел таких, что р^ (i, i) > 0, и наибольший общий делитель чисел пи п2, ..., ns равен d(i). В силу леммы 4 § 4 най-
дется такое что при п^ п0 будем иметь nd (г) = ? скпк- Сле-
k=l
довательно,
Ры {1)) а, о > [р<ni) a, dT [р(П2) и, оТ2... [р<"•> a, oTs > о. в
Следствие. Если р(т)(/, 0>0, то для всех достаточно больших п
p(m+nd ({))(]' I) > д.
Действительно,
рЫ+nd <ш (Д г) ^ р(т) (/, 0p(nd(i))(i, 0-
При изучении цепей Марнова во многих случаях удобнее сначала рассматривать апериодические цепи, а затем обобщать полученные результаты на периодические.
ЦЕПИ МАРКОВА СО СЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИИ
201
Покажем еще, что период состояния может быть вычислен по вероятности первого возвращения.
Лемма 2. Период i-го состояния совпадает с наибольшим общим делителем тех п, для которых i) > 0.
Доказательство. Пусть Z,v и Z'u — множества тех n,n^N, для которых р{п) (г, г) > 0 и соответственно (г, г) > 0, a djV
и d'u — их наибольшие общие делители. Очевидно, Z'n с= Zn и, следовательно, d'v При этом d[ — d\. Пусть существует N
такое, что d'n=- dn при rc</V, a d'N+, > dN+,. Тогда f(,v+1>('', i) = 0, а р(Л'+!,(г, г) > 0. Из равенства р(Л/+1)(г, г) = (г, г)-j-
¦V
+ Z i) p{N+l~k){i, i) вытекает при некотором s, 0 <s^N,
k=i
соотношение /(s) (г, i) p(-v+1_s) (i, г) > 0, т. e. s и .V + 1 — s делятся на rf/v и, следовательно, jV-f 1 делится на что противоречит соотношениям d/v+i < d'v+i = №
Теорема 9. Каждый класс К сообщающихся состояний периода d [d < °о) можно разбить на d подмножеств К0, К\, Kd-\ попарно без общих элементов так, чтобы за один
шаг из Ks (s < d — 1) можно было перейти только в Ks+u
